Szögfelező
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Bisection_construction.gif)
A szögfelező a szöget két egyenlő szögre osztja. A szögfelező minden pontja azonos távolságra van a szög száraitól és átmegy a szög csúcsán.
A konvex szögtartományban a két szögszártól azonos távolságra lévő pontok egy félegyenest alkotnak. A szögtartományon kívül e félegyenes meghosszabbítását szoktuk a szögfelezőnek tekinteni, de a félegyenesen kívül is vannak pontok, melyek a szögszáraktól, mint félegyenesektől azonos távolságra vannak.
Egyenesek által alkotott szögnél a két egyenestől azonos távolságra lévő pontok két egyenest alkotnak, melyek merőlegesek egymásra.
A szögfelező szerkesztése
Egy szög szögfelezőjét meg lehet szerkeszteni körzővel és vonalzóval a következő módon: olyan kört rajzolunk, melynek középpontja a szög csúcsa. A körvonal a szög mindkét szárát elmetszi. Rajzoljunk két azonos sugarú kört, melyeknek a középpontja a két metszéspont. A két kör két metszéspontja meghatározza a szöget felező egyenest.
A háromszög szögfelezői
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Incircle_and_Excircles.svg/220px-Incircle_and_Excircles.svg.png)
Belső szögfelezők és háromszög beírt köre
A háromszög belső szögfelezői azok az egyenesek, melyek a háromszög belső szögeit elfelezik. Ezeknek az egyeneseknek minden pontja azonos távolságra van a háromszög két-két oldalegyenesétől, mivel szögfelezők.
A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ezt beláthatjuk a következőképpen: Az csúcson és a csúcson átmenő szögfelezők metszéspontja egyenlő távol van a és oldalegyenestől (mivel az csúcson átmenő szögfelező pontja) valamint a és oldalegyenesektől is (mivel a csúcson átmenő szögfelezőnek is pontja). Tehát mindhárom oldalegyenestől egyenlő távol van, így -tól és -től is, ezért rajta van a -n átmenő szögfelezőn.
A belső szögfelezők metszéspontja mindhárom oldaltól azonos távolságra van, ezért ez a pont a háromszög mindhárom oldalát érintő kör középpontja. A kör sugara a középpontból az oldalakra állított merőleges szakasz.
A szögfelezőtétel (Apollóniosz tétele)
![]() | Bővebben: Szögfelezőtétel |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Szogfelezotetel.svg/220px-Szogfelezotetel.svg.png)
A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja, vagyis .
Bizonyítás:
Meghosszabbítjuk a háromszög oldalát -n túl -val, így kapjuk meg -t. egyenlő szárú háromszög, ennek a csúcsnál lévő külső szöge , az alapon fekvő szögei nagyságúak. Az háromszög oldala és a szögfelező által bezárt szög egyállású a háromszög csúcsnál levő szögével, mivel a két szög azonos nagyságú és az egyik száruk egy egyenesbe esik. Ezért a szögek másik szára – a szögfelező és a oldal – is párhuzamosak egymással. Az csúcsnál lévő szögre a párhuzamos szelők tételét alkalmazva kapjuk az egyenlőséget.
Külső szögfelezők és a háromszög hozzáírt körei
A háromszög külső szögeit megfelezve a külső szögfelezőket kapjuk. A szögfelező minden pontja egyenlő távol van a háromszög két oldalegyenesétől. Két-két szögfelező egy pontban metszi egymást. A metszéspont a hozzáírható kör középpontja, mivel mindhárom oldalegyenestől egyenlő távol van.
A háromszög egy csúcsból húzott belső és külső szögfelezője merőleges egymásra.
Források
- Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 185, 206, 359. oldal.
- Matematikai kisenciklopédia. Szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 210. oldal.