Szimplektikus integrátor

A szimplektikus integrátor (SI) a numerikus integrálás egy módszere, speciálisan a klasszikus mechanikában és a szimplektikus geometriában előforduló differenciálegyenletek megoldására.

A szimplektikus integrátorok a geometriai integrátorok alosztálya, melyek definíció szerint kanonikus transzformációk. Alkalmazásuk a molekuláris dinamikában, gyorsítófizikában és égi mechanikában fordul elő.

A szimplektikus integrátorokat a Hamilton-egyenletek megoldására készítették:

${\displaystyle {\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}\quad {\mbox{and}}\quad {\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}},}$

ahol ${\displaystyle q}$ a pozíció koordináták, ${\displaystyle p}$ a momentum koordináták, és ${\displaystyle H}$ a Hamilton függvény. ${\displaystyle (q,p)}$ koordináták együttesét kanonikus koordinátáknak hívják.(Hamilton-féle mechanika)^[1]

A legtöbb numerikus módszer, mint például az Euler-módszer,^[2] és a klasszikus Runge–Kutta-módszer, nem szimplektikus integrátorok.

Feltételezzük, hogy a Hamilton függvény részekre osztható, és felírható a következő formában:^[3]

${\displaystyle H(p,q)=T(p)+V(q).\qquad \qquad (1)}$

T, a kinetikus energia V, a potenciális energia Vezessük be a ${\displaystyle z=(q,p)}$ szimbólumot, a kanonikus koordinátákra. Ekkor a bevezetőben említett Hamilton egyenletek kifejezhetők:

${\displaystyle {\dot {z}}=\{z,H(z)\}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)}$

Ahol ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ a Poisson zárójel. Továbbá bevezetjük a ${\displaystyle D_{H}=\{\cdot ,H\}}$ operátort. Ekkor:

${\displaystyle {\dot {z}}=D_{H}z.}$

A formális megoldás:

${\displaystyle z(\tau )=\exp(\tau D_{H})z(0).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)}$

Így:

${\displaystyle z(\tau )=\exp[\tau (D_{T}+D_{V})]z(0).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)}$

Az SI kifejezés közelít az idő-haladó operátorhoz a (4)-es kifejezésben egy operátor szorzataként:

${\displaystyle \exp[\tau (D_{T}+D_{V})]=\prod _{i=1}^{k}\exp(c_{i}\tau D_{T})\exp(d_{i}\tau D_{V})+O(\tau ^{k+1}),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)}$

ahol ${\displaystyle c_{i}}$ és ${\displaystyle d_{i}}$ valós számok, és ${\displaystyle k}$ egy egész szám, melyet az integrátor rendszámának hívnak.

${\displaystyle \exp(c_{i}\tau D_{T})}$ és ${\displaystyle \exp(d_{i}\tau D_{V})}$ operátorok szimplektikus leképzést adnak, így a szorzatuk az (5)-ben, szintén egy szimplektikus leképzést ad. Konkrét kifejezésben, a ${\displaystyle \exp(c_{i}\tau D_{T})}$ adja:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}q'\\p'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q+\tau c_{i}{\frac {\partial T}{\partial p}}(p)\\p\end{pmatrix}}}$

és ${\displaystyle \exp(d_{i}\tau D_{V})}$ adja

${\displaystyle {\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}q'\\p'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q\\p-\tau d_{i}{\frac {\partial V}{\partial q}}(q)\\\end{pmatrix}}.}$

Mindkét leképzés számítástechnikailag programozható.^[4]

• Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard: Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. (hely nélkül): Springer. 2006. ISBN 978-3-540-30663-4  

• Numerikus integrálás
• Euler-módszer
• Differenciálegyenlet