Szorzatkategória

Ez a cikk kategóriák szorzatáról (produktumáról) szól. Kategóriák objektumainak szorzatáról lásd: Produktum (kategóriaelmélet).

A szorzatkategória vagy produktumkategória a matematikában, pontosabban a kategóriaelméletben a halmazok Descartes-szorzatának általánosítása kategóriákra. A szorzatkategória fogalma szerepet játszik a bi- illetve multifunktorok definíciójában.^[1]

Legyenek C és D kategóriák. Ekkor a C × D szorzatkategóriát a következő adatok definiálják. A szorzatkategória objektumai (A, B) párok, ahol A illetve B a C illetve D kategória objektuma. Az (A₁, B₁) és (A₂, B₂) objektumok közötti morfizmusok azon (f, g) párok, ahol f : A₁ → A₂ morfizmus C-ben és g : B₁ → B₂ morfizmus D-ben. A morfizmusok kompozíciója komponensenként történik:

(f₂, g₂) o (f₁, g₁) = (f₂ o f₁, g₂ o g₁)

Az identitásmorfizmusok mindkét komponensben identitásból álló morfizmusok:

1_{(A, B)} = (1_A, 1_B).

Legyenek C és D kis kategóriák, azaz olyan kategóriák, amikben az objektumok illetve morfizmusok halmazt alkotnak. Ekkor a C és D kategóriák fent definiált szorzatkategóriája megegyezik a C és D mint a kategóriák kategóriájának objektumainak szorzatobjektumával.

Azokat a funktorokat, amiknek a célja egy szorzatkategória, bifunktornak nevezik. Bifunktor például a Hom-funktor: egy C kategórián vett Hom-funktor forrása a C oppozit kategóriájának és C-nek a szorzatkategóriája:

Hom : C^op × C → Set.

Hasonlóan ahhoz, ahogy a kéttényezős Descartes-szorzat általánosítható több tényezőre, a szorzatkategória definíciója is kiterjeszthető. Az így kapott művelet izomorfizmus erejéig kommutatív és asszociatív; a többtényezős általánosítás nem hoz semmilyen jelentős újítást az elméletbe.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Product category című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

• Definition 1.6.5 in Borceux, Francis. Handbook of categorical algebra, Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [i.e. 52]. Cambridge University Press, 22. o. (1994. szeptember 11.). ISBN 0-521-44178-1 Handbook of categorical algebra. Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [i.e. 52]. Vol. 1. Cambridge University Press. p. 22. ISBN <bdi>0-521-44178-1</bdi>.
• Product category Archiválva 2022. február 6-i dátummal a Wayback Machine-ben in nLab
• Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician, Second, New York, NY: Springer New York, 49–51. o. (1978. szeptember 11.). ISBN 1441931236. OCLC 851741862