Természetes sűrűség
A matematika, azon belül a számelmélet területén természetes sűrűség (aszimptotikus sűrűség vagy aritmetikai sűrűség) a természetes számok halmazán belül egy részhalmaz nagyságát meghatározó egyik mérték.
Természetes intuíció alapján úgy vélhetnénk, hogy a négyzetszámok kevesebben vannak a pozitív egész számoknál, hiszen a négyzetszámok eleve pozitív egészek, és rajtuk kívül rengeteg pozitív egész szám létezik. Valójában azonban a pozitív egész számok éppen ugyanannyian vannak, mint a négyzetszámok: mindkét halmaz végtelen, megszámlálható, ezért létezik közöttük 1:1 megfeleltetés. Ennek ellenére, ha a természetes számokon növekvő sorrendben végigmegyünk, egyre kevesebb négyzetszámot találunk. Ezt az intuíciót próbálja precízen megragadni a természetes sűrűség fogalma.
Ha véletlenszerűen kiválasztunk az [1, n] intervallumból egy egész számot, akkor annak a valószínűsége, hogy az A halmazba tartozik, éppen az A halmaz [1, n]-be eső elemeinek száma elosztva az [1, n]-be eső természetes számok számával. Ha ez a valószínűség valamilyen határértékhez tart, miközben n tart a végtelenhez, akkor ezt a határértéket tekintjük A természetes sűrűségének. Ez a szám úgy is felfogható, hogy az A halmazból való elemválasztás valószínűsége. Valóban, az aszimptotikus sűrűséggel (és néhány más sűrűségfajtával) a valószínűségi számelmélet foglalkozik.
Az aszimptotikus sűrűséggel szembe szokás állítani például a Schirelmann-sűrűséget. Az aszimptotikus sűrűség alkalmazásának egyik hátránya, hogy nem minden részhalmazára értelmezhető.
Definíció
Pozitív egész számok egy A részhalmaza α aszimptotikus sűrűséggel rendelkezik, ha 1 és n közti természetes számok között az A elemeinek aránya aszimptotikusan α, ahogy n tart a végtelenhez.
Explicitebben, definiáljuk a természetes számokon értelmezett a(n) számláló függvényt úgy, hogy az minden n-re megadja az A-ban található, n-nél nem nagyobb elemek számát; ekkor az, hogy A természetes sűrűsége α a következőt jelenti:[1]
- a(n)/n → α, ahogy n → +∞.
A definícióból következik, hogy ha az A halmaz α természetes sűrűséggel bír, akkor 0 ≤ α ≤ 1.
Alsó és felső aszimptotikus sűrűségek
Legyen az természetes számok egy részhalmaza. Bármely -re legyen és .
Az felső aszimptotikus sűrűségét, -t a következőképpen definiáljuk:
ahol lim sup a legkisebb felső korlát. -t egyszerűen az felső sűrűségének is nevezik.
Hasonlóan , az alsó aszimptotikus sűrűsége a következőképpen határozható meg:
Akkor mondható el, hogy aszimptotikus sűrűsége ha , amikor is ezzel a közös értékkel egyezik meg.
Ez a definíció a következőképpen is megfogalmazható:
ha a határérték létezik.[2]
Bizonyítható, hogy a definíciókból az alábbiak is következnek. Ha az részhalmazát felírjuk növekvő sorozatként:
akkor
és ha a határérték létezik.
Megjegyzés
A sűrűség valamelyest gyengébb meghatározása a felső Banach-sűrűség; vegyünk egy halmazt, ekkor legyen a következő:
Tulajdonságok és példák
- Ha valamely A halmaznak létezik d(A) természetes sűrűsége, akkor a komplementerhalmazra igaz, hogy d(Ac) = 1 − d(A).
- Ha , és léteznek, akkor .
- Bármely A, B halmazra .
- A természetes számok halmazának d(N) természetes sűrűsége éppen 1.
- Pozitív egész számok bármely F véges halmazára d(F) = 0.
- Ha , a négyzetszámok halmaza, akkor d(A) = 0.
- Ha a páros számok halmaza, akkor d(A) = 0,5. Hasonlóan, bármely számtani sorozatra igaz, hogy d(A) = 1/a.
- Az összes prímszám P halmazára a prímszámtétel alapján d(P) = 0.
- A négyzetmentes számok halmazának sűrűsége
- A bővelkedő számok sűrűsége nem nulla.[3] Marc Deléglise 1998-ban megmutatta, hogy a bővelkedő és tökéletes számok aszimptotikus sűrűsége 0,2474 és 0,2480 között van.[4]
- Azon számok halmaza, melyek bináris kifejtése páratlan számjegyet tartalmaz jó példa olyan halmazra, aminek nincs aszimptotikus sűrűsége, mivel felső sűrűsége:
- míg az alsó sűrűsége:
- Hasonlóan, a tízes számrendszerben 1-essel kezdődő számok halmazának sincs természetes sűrűsége: alsó sűrűsége 1/9, felső sűrűsége 5/9.[1]
- Tekintsük az egyenletes eloszlású sorozatot a intervallumban, és definiáljunk egy monoton halmazcsaládot:
- Ekkor definíció szerint minden -re.
Egyéb sűrűségfüggvények
A természetes számok részhalmazaira analóg módon hasonló sűrűségfüggvények definiálhatók. Például az A halmaz logaritmikus sűrűségén a következő határérték értendő (ha az létezik):
A felső és alsó logaritmikus sűrűségek is analóg módon definiálhatók.
Kapcsolódó szócikkek
Fordítás
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Natural density című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Jegyzetek
- ↑ a b Tenenbaum (1995) p.261
- ↑ Nathanson (2000) pp.256–257
- ↑ Divisors, Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 95. o. (1988). ISBN 0-521-34056-X
- ↑ Deléglise, Marc (1998). „Bounds for the density of abundant integers”. Experimental Mathematics 7 (2), 137–143. o. DOI:10.1080/10586458.1998.10504363. ISSN 1058-6458.
- Nathanson, Melvyn B.. Elementary Methods in Number Theory, Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag (2000). ISBN 0387989129
- Niven, Ivan (1951). „The asymptotic density of sequences”. Bulletin of the American Mathematical Society 57, 420–434. o. DOI:10.1090/s0002-9904-1951-09543-9.
- Steuding, Jörn: Probabilistic number theory, 2002. [2011. december 22-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2014. november 16.)
- Tenenbaum, Gérald. Introduction to analytic and probabilistic number theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press (1995)