Wiener-folyamat
A Wiener-folyamat egy időben folytonos sztochasztikus folyamat, melyet Norbert Wiener (1894–1964) amerikai matematikusról neveztek el. Ezt a folyamatot Brown-mozgásnak is szokták hívni. Ez az egyik legismertebb Lévy-folyamat, és gyakran előfordul az alkalmazott matematikában, a közgazdaságban, a fizikában, és a pénzügyi folyamatoknál.
A Wiener-folyamat fontos szerepet játszik az elméleti és az alkalmazott matematikában. Az elméleti matematikában a Wiener-folyamat segíti az időben folytonos martingál kutatásokat. A Wiener-folyamat kulcsfontosságú folyamat, mely lehetővé teszi jóval bonyolultabb sztochasztikus folyamatok leírását. Alapvető szerepe van a sztochasztikus számításoknál, a diffúziós folyamat és a potenciál elméletnél.
Az alkalmazott matematikában a Wiener-folyamatot a Gauss-féle fehér zaj integráljának kifejezésére használják, és így ez egy hasznos modell az elektronikai műszaki tudományokban a zaj modellezésre, a szűrő (jelfeldolgozás) elméletben, és a szabályozáselméletben az ismeretlen erők analízisénél. A Schrödinger-egyenlet egy megoldása is kifejezhető a Wiener-folyamattal. A pénzügyi folyamatok matematikai elméletében is alkalmazzák, különösen a Black–Scholes-modellben.
A Wiener-folyamat jellemzői
Definíció
Wiener-folyamat alatt olyan sztochasztikus folyamatot értünk, amely kielégíti az alábbi négy tulajdonságot:
- , azaz
- Folytonos trajektóriájú, azaz minden esetén a leképezés mindenhol folytonos
- Minden véges indexhalmazra a változók függetlenek egymástól.
- Minden esetén .
Mindez az valószínűségi mező fölött. alatt az valószínűségi változót értjük.
N(μ, σ2) normális eloszlás μ várható értékkel, és σ2 szórásnégyzettel. A független növekmények azt jelentik, hogy ha 0 ≤ s1 < t1 ≤ s2 < t2, akkor Wt1−Ws1 és Wt2−Ws2 független valószínűségi változók, és hasonló feltételek érvényesek n növekményre is. A Wiener-folyamat egy másik jellemzése az úgynevezett Lévy-féle leírás, mely azt mondja, hogy a Wiener-folyamat majdnem biztosan folytonos martingál W0 = 0 mellett, és a kvadratikus variáció [Wt, Wt] = t (mely azt jelenti, hogy Wt2−t szintén martingál). Egy harmadik jellemzés szinusz sorokkal történik, ahol az együtthatók független valószínűségi változók. Ez a megközelítés a Karhunen–Loève-tételt használja fel.
Egy Wiener-folyamat a természetes filtrációjában martingál.
Kapcsolódó folyamatok
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/BMonSphere.jpg/200px-BMonSphere.jpg)
Ez a sztochasztikus folyamat:
a Wiener-folyamat μ drifttel, és elenyésző σ2. szórásnégyzettel. Ez a folyamat megfelel a Lévy-folyamatnak. Speciális változatai a Brown-híd és a Brown-elhajlás.
A geometrikus Brown-mozgás:
Ez egy sztochasztikus folyamat, mely sohasem vesz fel negatív értéket, mint például a tőzsde értéke. Az alábbi sztochasztikus folyamat, a Ornstein–Uhlenbeck-folyamat.
Az integrált Brown-mozgás
A Wiener-folyamat idő szerinti integrálja: Ezt integrált Brown-mozgásnak, vagy integrált Wiener-folyamatnak hívják. Az integrált Wiener-folyamat több alkalmazásnál is szerepel, mint normális eloszlás, zéró várható értékkel és szórásnégyzettel. A Wiener-folyamat kovarianciája .[1]
Irodalom
- Durrett, R: Probability: theory and examples,4th edition. (hely nélkül): Cambridge University Press. 2000. ISBN 0-521-76539-0
Jegyzetek
- ↑ Forum, "Variance of integrated Wiener process" Archiválva 2013. december 2-i dátummal a Wayback Machine-ben, 2009.
További információk
- http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/brownian/applet.html Archiválva 2005. december 14-i dátummal a Wayback Machine-ben
- Brown-mozgás – YouTube-videó
Kapcsolódó szócikkek
- Véletlenszerű mozgás
- Sűrűségfüggvény
- Skálaparaméter
- Alakparaméter
- Gamma-eloszlás
- Eloszlásfüggvény
- Valószínűségszámítás
- Statisztika
- Matematikai statisztika
- Chernoff-eloszlás
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap