Zsigmondy-tétel

A matematika, azon belül a számelmélet területén a Karl Zsigmondyról vagy Zsigmondy Károlyról elnevezett Zsigmondy-tétel azt állítja, hogy ha a > b > 0 relatív prím egész számok, akkor bármely n ≥ 1 számhoz tartozik olyan p prímszám (itt: primitív prímosztó), ami osztója az aⁿ − bⁿ számnak, de nem osztója az a^k − b^k-nek egyetlen pozitív egész k < n értékre sem, a következő kivételektől eltekintve:

• n = 1, a − b = 1; ekkor aⁿ − bⁿ = 1, aminek nincsenek prímosztói.
• n = 2, a + b kettőhatvány; ilyenkor bármilyen páratlan prímtényező, ami szerepel a² - b² = (a + b)(a¹ - b¹)-ben szükségképpen az a¹ - b¹-ben szerepel, ami szintén páros
• n = 6, a = 2, b = 1; ebben az esetben a⁶ − b⁶ = 63 = 3²7 = (a² − b²)²(a³ − b³)

Ez az eredmény Bang tételének általánosítása, amely szerint ha n > 1 és n nem egyenlő 6-tal, akkor 2ⁿ − 1 rendelkezik olyan prímosztóval, amely nem osztója 2^k − 1-nek egyetlen k < n számra sem.

Hasonlóan, aⁿ + bⁿ-nek legalább egy primitív prímosztója van az 2³ + 1³ = 9 eset kivételével.

Zsigmondy tétele gyakran jól jön, különösen a csoportelméletben, ahol annak bizonyítására használják, hogy különböző csoportoknak eltér a rendjük, kivéve amikor ismert róluk, hogy megegyezik.

A tételt Zsigmondy ismerte fel, mialatt Bécsben tartózkodott 1894 és 1925 között.

Legyen ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ pozitív egész számokból álló sorozat. A sorozathoz tartozó Zsigmondy-halmaz a következő:

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a_{n})=\{n\geq 1:a_{n}{\text{ nem rendelkezik primitív prímosztóval}}\}.}$

tehát azon ${\displaystyle n}$ indexek halmaza, melyekre bármely ${\displaystyle a_{n}}$-t osztó prímszám valamely ${\displaystyle a_{m}}$-nek is osztója, ahol ${\displaystyle m<n}$. A Zsigmondy-tételből tehát következik, hogy ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a^{n}-b^{n})\subset \{1,2,6\}}$, a Carmichael-tétel szerint a Fibonacci-sorozat Zsigmondy-halmaza ${\displaystyle \{1,2,6,12\}}$, míg a Pell-sorozaté ${\displaystyle \{1\}}$. 2001-ben Bilu, Hanrot és Voutier^[1] bebizonyították, hogy általánosságban, ha ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ egy Lucas-sorozat vagy Lehmer-sorozat, akkor ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a_{n})\subseteq \{1\leq n\leq 30\}}$. A Lucas- és Lehmer-sorozatok az oszthatósági sorozatok speciális esetei.

Szintén ismert, hogy ha ${\displaystyle (W_{n})_{n\geq 1}}$ egy elliptikus oszthatósági sorozat, akkor a hozzá tartozó ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(W_{n})}$ Zsigmondy-halmaz véges.^[2] Ez az eredmény nem túl hatásos abban az értelemben, hogy a bizonyítás nem ad felső korlátot ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(W_{n})}$ legnagyobb elemére nézve, lehetséges viszont hatásos felső korlátot adni ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(W_{n})}$ elemszámára.^[3]

• Carmichael-tétel

• K. Zsigmondy (1892). „Zur Theorie der Potenzreste”. Journal Monatshefte für Mathematik 3 (1), 265–284. o. DOI:10.1007/BF01692444.  
• Th. Schmid (1927). „Karl Zsigmondy”. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 36, 167–168. o. [2015. szeptember 23-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2016. június 21.)  
• Moshe Roitman (1997). „On Zsigmondy Primes”. Proceedings of the American Mathematical Society 125 (7), 1913–1919. o. DOI:10.1090/S0002-9939-97-03981-6.  
• Walter Feit (1988). „On Large Zsigmondy Primes”. Proceedings of the American Mathematical Society 102 (1), 29–36. o, Kiadó: American Mathematical Society. DOI:10.2307/2046025.  
• Recurrence sequences, Mathematical Surveys and Monographs. Providence (Rhode Island): American Mathematical Society, 103–104. o. (2003). ISBN 0-8218-3387-1 

• Weisstein, Eric W.: Zsigmondy Theorem (angol nyelven). Wolfram MathWorld