Jarak Lee

Dalam teori kode, jarak Lee mengukur jarak dua string dengan panjang yang sama atas suatu alfabet. Jarak ini diperkenalkan ole C. Y. Lee pada tahun 1958, dan merupakan sebuah metrik. Untuk string ${\displaystyle x_{1}x_{2}\dots x_{n}}$ dan ${\displaystyle y_{1}y_{2}\dots y_{n}}$ dengan panjang ${\displaystyle n}$ atas alfabet q-ary ${\displaystyle \{0,\,1,\,\dots ,\,q-1\}}$ berukuran ${\displaystyle q\geq 2}$, jarak Lee didefinisikan sebagai

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\min(|x_{i}-y_{i}|,\,q-|x_{i}-y_{i}|).}$^[1]

Dengan menganggap alfabet sebagai grup adiktif Z_q, jarak Lee antara simbol ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ adalah jarak terpendek pada graf Cayley antara mereka.^[2] Jika ${\displaystyle q=2}$ atau ${\displaystyle q=3}$, jarak Lee akan sama dengan jarak Hamming, karena kedua jarak tersebut bernilai 0 untuk dua simbol yang sama, dan bernilai 1 untuk dua simbol yang berbeda. Untuk kasus ${\displaystyle q>3}$ hal tersebut tidak berlaku lagi, dan nilai jarak Lee antara dua simbol dapat lebih dari 1.

Berikut adalah contoh jarak Lee atas beberapa alfabet:

• Untuk alfabet biner (yakni ${\displaystyle q=2}$), jarak Lee antara string ${\displaystyle 1010}$ dan ${\displaystyle 1100}$ adalah

${\displaystyle \min(0,2-0)+\min(1,2-1)+\min(1,2-1)+\min(0,2-0)=0+1+1+0=2}$ Pada alfabet ini, jarak Lee sama dengan jarak Hamming

• Untuk alfabet dengan ${\displaystyle q=6}$, jarak Lee antara string ${\displaystyle 3140}$ dan ${\displaystyle 2543}$ adalah

${\displaystyle \min(1,6-1)+\min(2,6-2)+\min(0,6-0)+\min(3,6-3)=1+2+0+3=6}$

• Lee, C. Y. (1958), "Some properties of nonbinary error-correcting codes", IRE Transactions on Information Theory, 4 (2): 77–82, doi:10.1109/TIT.1958.1057446 
• Berlekamp, Elwyn R. (1968), Algebraic Coding Theory, McGraw-Hill 
• Voloch, Jose Felipe; Walker, Judy L. (1998). "Lee Weights of Codes from Elliptic Curves". Dalam Vardy, Alexander. Codes, Curves, and Signals: Common Threads in Communications. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4615-5121-8.