Perubahan basis

Dalam aljabar linear, basis terurut memungkinkan setiap elemen pada sebarang ruang vektor berdimensi ${\displaystyle n}$ dinyatakan dalam bentuk vektor koordinat, yakni suatu barisan ${\displaystyle n}$-skalar yang disebut [koordinat]. Untuk dua basis berbeda dari suatu ruang vektor, vektor koordinat yang menyatakan elemen ${\displaystyle v}$ atas basis pertama, umumnya berbeda dengan vektor koordinat yang menyatakan elemen yang sama, namun atas basis yang kedua. Perubahan basis adalah tindakan mengubah penyataan-pernyataan matematika pada suatu basis, ke pernyataan-pernyataan yang sepadan pada basis yang lain.^[1][2][3]

Perubahan basis tersebut dihasilkan dari rumus perubahan-basis yang menyatakan koordinat-koordinat relatif pada satu basis dalam bentuk koordinat-koordinat relatif basis yang lainnya. Menggunakan matriks, rumus ini dapat dituliskan sebagai

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {lama} }=\mathbf {A} \,\mathbf {x} _{\mathrm {baru} },}$

dengan "lama" dan "baru" masing-masing merujuk pada basis lama dan basis baru, ${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {lama} }}$ dan ${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {baru} }}$ adalah vektor kolom dari koordinat vektor yang sama menurut kedua basis, dan ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah matriks perubahan-basis (juga disebut matriks transisi) yang kolom-kolomnya menyatakan koordinat vektor-vektor basis lama di basis baru.

Artikel ini fokus membahas ruang vektor dimensi hingga. Akan tetapi, banyak prinsip yang disampaikan disini juga berlaku pada ruang vektor dimensi tak-hingga.

Misalkan kita ingin menentukan vektor koordinat pada ruang vektor Euklides ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ yang dihasilkan dari rotasi sebesar ${\displaystyle t.}$ Ruang vektor sebelum dirotasi memiliki basis standar ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,0)}$ dan ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(0,1);}$ sebut ini sebagai basis "lama". Setelah ruang vektor dirotasi, setiap elemen dalam basis tersebut ikut berotasi, dan berubah menjadi ${\displaystyle \mathbf {w} _{1}=(\cos t,\,\sin t)}$ dan ${\displaystyle \mathbf {w} _{2}=(-\sin t,\,\cos t);}$ sebut ini sebagai basis "baru". Lalu, matriks perubahan basis akibat rotasi dapat dituliskan sebagai$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}.}$$Rumus perubahan basis menyatakan bahwa, jika ${\textstyle (y_{1},\,y_{2})}$ adalah koordinat baru hasil rotasi dari vektor koordinat ${\displaystyle (x_{1},\,x_{2}),}$ maka

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.}$

Sehingga,

${\displaystyle x_{1}=y_{1}\cos t-y_{2}\sin t\qquad {\text{dan}}\qquad x_{2}=y_{1}\sin t+y_{2}\cos t.}$

Hubungan tersebut dapat dibuktikan dengan menunjukkan ${\displaystyle (x_{1},\,x_{2})}$ dan ${\textstyle (y_{1},\,y_{2})}$ merujuk pada objek yang sama,

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}\mathbf {v} _{1}+x_{2}\mathbf {v} _{2}&=(y_{1}\cos t-y_{2}\sin t)\mathbf {v} _{1}+(y_{1}\sin t+y_{2}\cos t)\mathbf {v} _{2}\\&=y_{1}(\cos(t)\mathbf {v} _{1}+\sin(t)\mathbf {v} _{2})+y_{2}(-\sin(t)\mathbf {v} _{1}+\cos(t)\mathbf {v} _{2})\\&=y_{1}\mathbf {w} _{1}+y_{2}\mathbf {w} _{2}.\end{aligned}}}$

Misalkan ${\displaystyle B_{\mathrm {lama} }=(\mathbf {v} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {v} _{n})}$ adalah basis dari suatu ruang vektor dimensi hingga V atas suatu lapangan F.^[a] Seorang dapat mendefinisikan ${\displaystyle n}$ elemen baru ${\displaystyle \mathbf {w} _{j}}$ (dengan ${\displaystyle j=1,\,\dots ,\,n}$) berdasarkan koordinat vektor tersebut ${\displaystyle a_{i,j}}$, atas ${\displaystyle B_{\mathrm {lama} }\colon }$

${\displaystyle \mathbf {w} _{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}.}$

Misalkan

${\displaystyle \mathbf {A} =\left(a_{i,j}\right)_{i,j}}$

sebagai matriks yang kolom ke-j-nya dibentuk dari koordinat ${\displaystyle \mathbf {w} _{j}}$. (Di bagian ini dan seterusnya, indeks i selalu digunakan untuk merujuk baris di ${\displaystyle \mathbf {A} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {v} _{i},}$ sedangkan indeks j selalu digunakan untuk merujuk kolom di ${\displaystyle \mathbf {A} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {w} _{j};}$ konvensi ini berguna untuk menghindari kesalahan dalam perhitungan). Barisan terurut ${\displaystyle B_{\mathrm {baru} }=(\mathbf {w} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {w} _{n})}$ disebut basis dari V jika dan hanya jika matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ terbalikkan, atau setara dengan itu, jika determinannya tidak bernilai nol. Dalam kasus ini, ${\displaystyle \mathbf {A} }$ disebut matriks perubahan basis dari basis ${\displaystyle B_{\mathrm {lama} }}$ ke basis ${\displaystyle B_{\mathrm {baru} }}$.

Untuk sebarang elemen ${\displaystyle \mathbf {z} \in V,}$ misalkan ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ adalah koordinat ${\displaystyle \mathbf {z} }$ atas ${\displaystyle B_{\mathrm {lama} }}$, dan ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$ adalah koordinatnya atas ${\displaystyle B_{\mathrm {baru} }}$, kita memiliki hubungan$${\displaystyle \mathbf {z} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\mathbf {w} _{j}.}$$Dengan menjabarkan hubungan tersebut,$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {z} &=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\mathbf {w} _{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\right)\mathbf {v} _{i}.\end{aligned}}}$$kita dapatkan$${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad {\text{untuk }}i=1,\,\ldots ,\,n.}$$Dalam bentuk matriks, rumus perubahan basis adalah$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} \,\mathbf {y} ,}$$dengan ${\displaystyle \mathbf {x} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {y} }$ masing-masing adalah vektor kolom dari koordinat ${\displaystyle \mathbf {z} }$ atas s ${\displaystyle B_{\mathrm {lama} }}$ dan atas ${\displaystyle B_{\mathrm {baru} }}$.

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (edisi ke-5th), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0 

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X 

• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (edisi ke-2nd), New York: Wiley, LCCN 76091646 

• MIT Linear Algebra Lecture on Change of Basis oleh MIT OpenCourseWare

• Khan Academy Lecture on Change of Basis oleh Khan Academy

• l
• b
• s

Aljabar linear

Konsep dasar

• Skalar
• Vektor
• Ruang vektor
• Perkalian skalar
• Proyeksi vektor
• Rentang linear
• Peta linear
• Proyeksi linear
• Kebebasan linear
• Kombinasi linear
• Basis
• Vektor kolom dan baris
• Ruang kolom dan baris
• Keortogonalan
• Kernel
• Nilai eigen dan vektor eigen
• Hasil kali luar
• Ruang hasil kali dalam
• Hasil kali titik
• Transpos
• Proses Gram–Schmidt
• Persamaan linear

Aljabar vektor

• Hasil kali silang
• Hasil kali tripel
• Hasil kali silang tujuh dimensi

Aljabar multilinear

• Aljabar geometri
• Aljabar eksterior
• Bivektor
• Multivektor
• Tensor
• Morfisme luar

Matriks

• Blok
• Penguraian
• Dapat dibalik
• Minor
• Perkalian
• Rank
• Transformasi
• Aturan Cramer
• Eliminasi Gauss
• Determinan

Konstruksi aljabar

• Dual
• Hasil kali tensor
• Jumlah langsung
• Kuosien
• Ruang fungsi
• Subruang

Numerik

• Floating-point
• Stabilitas numerik
• Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
• Matriks rongga
• Perbandingan pustaka aljabar linear
• Perbandingan perangkat lunak analisis numerik

• Kategori
• Garis besar
• Portal matematika
• Wikibuku

Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

• l
• b
• s