*-algebra di Banach

Una *-algebra di Banach ${\displaystyle A}$ è un'algebra di Banach sul campo dei numeri complessi sulla quale sia definita un'applicazione ${\displaystyle *:A\to A}$, detta involuzione, con le seguenti proprietà:

• ${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$ per ogni ${\displaystyle x,y\in A}$
• ${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}}$ per ogni ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ e ogni ${\displaystyle x\in A}$, dove ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$ è il complesso coniugato di ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$ per ogni ${\displaystyle x,y\in A}$
• ${\displaystyle (x^{*})^{*}=x}$ per ogni ${\displaystyle x\in A}$

Il termine B*-algebra è stato introdotto da C. E. Rickart nel 1946 per descrivere una *-algebra di Banach che soddisfa:

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2}}$

per tutti gli ${\displaystyle x}$ nella data B*-algebra. Questa condizione implica che la *-involuzione è un'isometria, ovvero ${\displaystyle \|x\|=\|x^{*}\|}$, quindi ${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|\|x^{*}\|}$ e dunque una B*-algebra è una C*-algebra.

• (EN) Siegfried Echterhoff, C*-Algebras : Proceedings of the SFB-Workshop on C*-Algebras, Münster, Germany, March 8-12, 1999, Springer Berlin Heidelberg, 2000, ISBN 978-3-642-57288-3, OCLC 840292382.
• (EN) Kenneth R. Davidson, C*-algebras by example, American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, OCLC 34669383.
• (EN) N. E. Wegge-Olsen, K-theory and C*-algebras: a friendly approach, Oxford University Press, 1993, ISBN 0-19-859694-4, OCLC 26933088.

• *-algebra
• Algebra di Banach
• C*-algebra

• (EN) Eric W. Weisstein, Involutive Banach Algebra, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Lawrence W. Baggett, The spectral theorem of Gelfand (PDF), su Analysis of Functions of a Single Variable, University of Colorado Boulder.

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