Angolo tangente

L'angolo tangente o angolo di rotazione di una curva regolare in un punto ${\displaystyle P}$ appartenente alla curva è l'angolo tra la tangente alla curva in ${\displaystyle P}$ e l'asse delle ascisse,^[1] oppure tra la tangente in ${\displaystyle P}$ e la tangente in un punto prestabilito della curva^[2] (le due definizioni sono equivalenti a meno di una costante additiva).

Data una curva regolare espressa dalla parametrizzazione ${\displaystyle \alpha (t):[a,\,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$ e dato ${\displaystyle \theta _{0}\in [0,\,2\pi ]}$ tale che

${\displaystyle {\frac {\alpha '(t_{0})}{||\alpha '(t_{0})||}}=\left(\cos(\theta _{0}),\,\sin(\theta _{0})\right)}$

per un valore ${\displaystyle t_{0}\in [a,\,b]}$ fissato, si dimostra che esiste un'unica funzione differenziabile ${\displaystyle \theta _{\alpha }:[a,\,b]\to \mathbb {R} }$ tale che

${\displaystyle {\frac {\alpha '(t)}{||\alpha '(t)||}}=\left(\cos(\theta _{\alpha }(t)),\,\sin(\theta _{\alpha }(t))\right)}$

e

${\displaystyle \theta _{\alpha }(t_{0})=\theta _{0}}$.

Tale funzione ${\displaystyle \theta _{\alpha }}$ è l'angolo tangente di ${\displaystyle \alpha }$ determinato da ${\displaystyle \theta _{0}}$.^[3]

Se la curva ha velocità unitaria, si ha

${\displaystyle \alpha '(s)=\left(\cos(\theta (s)),\,\sin(\theta (s))\right)}$

e si dimostra che la curvatura è data dalla derivata dell'angolo tangente:

${\displaystyle \kappa =\varphi '(s)}$

dove il segno di ${\displaystyle \kappa }$ è positivo se la curva si piega a sinistra, negativo se si piega a destra.^[4]

Se la curva è espressa implicitamente dall'equazione ${\displaystyle y=f(x)}$, una sua parametrizzazione è data da ${\displaystyle (x,\ f(x))}$ e si può assumere ${\displaystyle \varphi \in \left[-{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {\pi }{2}}\right]}$, e l'angolo di rotazione è dato esplicitamente da ${\displaystyle \varphi =\arctan f'(x)}$.

In coordinate polari, l'angolo polare tangente in un punto è definito come l'angolo tra la tangente alla curva in quel punto e il raggio che va dall'origine al punto stesso.^[5] Se ${\displaystyle \psi }$ denota l'angolo polare tangente, allora ${\displaystyle \psi =\varphi -\theta }$, dove ${\displaystyle \varphi }$ è l'angolo tangente precedentemente definito e ${\displaystyle \theta }$ è l'angolo polare.

Se una curva è definita in coordinate polari come ${\displaystyle r=f(\theta )}$ si ha che l'angolo polare tangente ${\displaystyle \psi }$ in ${\displaystyle \theta }$ è dato (a meno di un multiplo di ${\displaystyle 2\pi }$) da

${\displaystyle {\frac {(f'(\theta ),\ f(\theta ))}{|f'(\theta ),\ f(\theta )|}}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )}$.

Se la curva è espressa tramite una parametrizzazione in coordinate polari e con velocità unitaria ${\displaystyle r=r(s),\ \theta =\theta (s)}$, la definizione diventa più semplice

${\displaystyle (r'(s),\ r\theta '(s))=(\cos \psi ,\ \sin \psi )}$.^[6]

La spirale logaritmica può essere definita come una curva il cui angolo tangente polare è costante.^[5][6]

• Renzo Caddeo e Alfred Gray, Curve e superfici, vol. 1, Cagliari, CUEC, 2001, ISBN 88-8467-022-5.
• R.C. Yates, A Handbook on Curves and Their Properties, Ann Arbor, MI, J. W. Edwards, 1952, pp. 123–126.
• Benjamin Williamson, Angle between Tangent and Radius Vector, in An elementary treatise on the differential calculus, 9ª ed., 1899, p. 222.

• Geometria differenziale
• Geometria differenziale delle curve
• Geometrie non euclidee
• Curva (matematica)
• Lunghezza di un arco
• Curvatura

• (EN) Eric W. Weisstein, Angolo tangente, su MathWorld, Wolfram Research.
• Notations, su Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables.

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