Associaedro
In matematica, un associaedro è un politopo convesso in cui ogni vertice rappresenta un modo di inserire correttamente parentesi aperte e chiuse in una stringa di lettere e gli spigoli corrispondono ad una singola applicazione della proprietà associativa. I vertici dell'associaedro possono anche essere visti come le triangolazioni di un poligono regolare con lati. Gli associaedri sono anche chiamati politopi di Stasheff.
Proprietà
Il numero di facce -dimensionali di un associaedro di ordine () è dato dalla seguente tabella:[1]
Il numero di vertici in è l'n-esimo numero di Catalan (diagonale del triangolo in tabella).
Il numero di faccette è invece l'ennesimo numero triangolare meno uno, e sono rappresentati in tabella dalla seconda colonna.
La somma delle facce di tutte le dimensioni, includendo l'associaedro stesso come faccia, è un numero di numero di Schröder-Ipparco.[2]
Esempi
3-Associaedro
L'associaedro monodimensionale rappresenta le due parentesizzazioni di tre simboli, che sono ((xy)z) e (x(yz)), o le due triangolazioni di un quadrato. È un segmento.
4-Associaedro
L'associaedro bidimensionale è un pentagono che rappresenta le 5 parentesizzazioni di 4 simboli, o le 5 triangolazioni di un pentagono regolare.
5-Associaedro
L'associaedro tridimensionale è un ennaedro topologicamente equivalente alla bipiramide triangolare troncata con nove facce e quattordici vertici. Questo può sembrare un solido di Johnson, in quanto può sembrare possibile costruirlo utilizzando quadrati e pentagoni regolari, ma non lo è: i vertici non sarebbero coplanari oppure le facce sarebbero leggermente distorte.
Dato che è un poliedro in cui per ogni vertice si incontrano solo 3 lati, sarebbe teoricamente possibile avere un idrocarburo che abbia uno scheletro con questa forma.
Note
- ^ Sloane, N. J. A., Entry A033282 in The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, su oeis.org.
- ^ Ralf Holtkamp, On Hopf algebra structures over free operads, in Advances in Mathematics, vol. 207, n. 2, 2006, pp. 544–565, DOI:10.1016/j.aim.2005.12.004, MR 2271016, arXiv:math/0407074..
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Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Associaedro, su MathWorld, Wolfram Research.