Associaedro

In matematica, un associaedro ${\displaystyle K_{n}}$ è un politopo convesso in cui ogni vertice rappresenta un modo di inserire correttamente parentesi aperte e chiuse in una stringa di ${\displaystyle n}$ lettere e gli spigoli corrispondono ad una singola applicazione della proprietà associativa. I vertici dell'associaedro possono anche essere visti come le triangolazioni di un poligono regolare con ${\displaystyle n+1}$ lati. Gli associaedri sono anche chiamati politopi di Stasheff.

Il numero di facce ${\displaystyle (n-k)}$-dimensionali di un associaedro di ordine ${\displaystyle n}$ (${\displaystyle K_{n+1}}$) è dato dalla seguente tabella:^[1]

$${\displaystyle {\begin{matrix}&k&1&2&3&4&5\\n\\1&&1\\2&&1&2\\3&&1&5&5\\4&&1&9&21&14\\5&&1&14&56&84&42\end{matrix}}}$$

Il numero di vertici in ${\displaystyle K_{n+1}}$ è l'n-esimo numero di Catalan (diagonale del triangolo in tabella).

Il numero di faccette è invece l'ennesimo numero triangolare meno uno, e sono rappresentati in tabella dalla seconda colonna.

La somma delle facce di tutte le dimensioni, includendo l'associaedro stesso come faccia, è un numero di numero di Schröder-Ipparco.^[2]

L'associaedro monodimensionale ${\displaystyle K_{3}}$ rappresenta le due parentesizzazioni di tre simboli, che sono ((xy)z) e (x(yz)), o le due triangolazioni di un quadrato. È un segmento.

L'associaedro bidimensionale ${\displaystyle K_{4}}$ è un pentagono che rappresenta le 5 parentesizzazioni di 4 simboli, o le 5 triangolazioni di un pentagono regolare.

L'associaedro tridimensionale ${\displaystyle K_{5}}$ è un ennaedro topologicamente equivalente alla bipiramide triangolare troncata con nove facce e quattordici vertici. Questo può sembrare un solido di Johnson, in quanto può sembrare possibile costruirlo utilizzando quadrati e pentagoni regolari, ma non lo è: i vertici non sarebbero coplanari oppure le facce sarebbero leggermente distorte.

Dato che ${\displaystyle K_{5}}$ è un poliedro in cui per ogni vertice si incontrano solo 3 lati, sarebbe teoricamente possibile avere un idrocarburo che abbia uno scheletro con questa forma.

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• (EN) Eric W. Weisstein, Associaedro, su MathWorld, Wolfram Research.