Congettura di Szpiro

Nella teoria dei numeri, la congettura di Szpiro riguarda la relazione esistente tra il conduttore e il discriminante di una curva ellittica. In una forma generale, è equivalente alla ben nota congettura abc. Prende il nome da Lucien Szpiro che la formulò negli anni ottanta.

La congettura afferma che, dato ε> 0, esiste una costante C(ε) tale che per ogni curva ellittica E definita su Q con discriminante minima Δ e conduttore f, abbiamo:

${\displaystyle \vert \Delta \vert \leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }.\,}$

La congettura di Szpiro modificata afferma che, dato ε> 0, esiste una costante C(ε) tale che per ogni curva ellittica E definita su Q con invarianti c₄, c₆ e conduttore f, abbiamo:

${\displaystyle \max\{\vert c_{4}\vert ^{3},\vert c_{6}\vert ^{2}\}\leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }.\,}$

• S. Lang, Survey of Diophantine geometry, Berlin, Springer-Verlag, 1997, pp. 51, ISBN 3-540-61223-8.
• L. Szpiro, Seminaire sur les pinceaux des courbes de genre au moins deux, in Astérisque, vol. 86, 1981, pp. 44–78.
• L. Szpiro, Présentation de la théorie d'Arakelov, in Contemp. Math., vol. 67, 1987, pp. 279–293.

• Szpiro and ABC Archiviato il 17 febbraio 2009 in Internet Archive., notes by William Stein

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