Distanza di Hausdorff

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In geometria, la distanza di Hausdorff è una particolare definizione di distanza introdotta da Felix Hausdorff per misurare la distanza tra due sottoinsiemi di uno spazio metrico.

Dato uno spazio metrico ${\displaystyle X}$ e due sottoinsiemi ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ definiamo qualche quantità preliminare: si dice distanza di un punto dall'insieme ${\displaystyle A}$ la quantità

${\displaystyle d(x,A):=\inf _{y\in A}d(x,y)}$.

Si definisce eccedenza di A su B la quantità

${\displaystyle e(A,B):=\sup _{x\in A}d(x,B)}$.

Si definisce dunque distanza di Hausdorff tra ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ la quantità

${\displaystyle d(A,B):={\mbox{max}}\{e(A,B),e(B,A)\}}$

La distanza di Hausdorff è una funzione ${\displaystyle d:P(X)\times P(X)\to \mathbb {R} _{0}^{+}}$. Essa soddisfa le seguenti proprietà:

• se ${\displaystyle A=B}$ allora ${\displaystyle d(A,B)=0}$
• ${\displaystyle d(A,B)=d(B,A)}$
• ${\displaystyle d(A,B)\leq d(A,C)+d(C,B)}$

Tali proprietà la rendono una pseudometrica sull'insieme delle parti di ${\displaystyle X}$. Essa soddisfa anche l'ultima proprietà di una metrica (cioè ${\displaystyle d(A,B)=0}$ implica ${\displaystyle A=B}$) se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono chiusi.

La distanza di Hausdorff consente di definire un concetto di continuità per multifunzioni, cioè per funzioni ${\displaystyle F:A\to P(B)}$. Se si munisce ${\displaystyle P(B)}$ della distanza di Hausdorff ed ${\displaystyle A}$ è uno spazio quantomeno topologico, è naturale dire ${\displaystyle F}$ continua in ${\displaystyle x_{0}}$ se

per ogni ${\displaystyle \epsilon >0}$ esiste un intorno di ${\displaystyle x_{0}}$ tale che per ogni ${\displaystyle x}$ in quell'intorno è ${\displaystyle d(F(x),F(x_{0}))<\epsilon }$.

Al di fuori della matematica, la distanza di Hausdorff trova utilizzo in svariati campi di ricerca tra cui la computer vision e la bioinformatica. Sovente si applicano varie metriche onde trovare una stima affidabile dell'errore.

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