Disuguaglianza di Ono

In matematica, la disuguaglianza di Ono è un teorema sui triangoli. Esso afferma che per ogni triangolo acutangolo di lati a, b e c e superficie A vale la seguente disuguaglianza:

27 ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 ( a 2 + c 2 − b 2 ) 2 ( b 2 + c 2 − a 2 ) 2 ≤ ( 4 A ) 6 {\displaystyle 27\left({a^{2}+b^{2}-c^{2}}\right)^{2}\left({a^{2}+c^{2}-b^{2}}\right)^{2}\left({b^{2}+c^{2}-a^{2}}\right)^{2}\leq \left({4A}\right)^{6}}

L'uguaglianza vale se il triangolo è equilatero.

T. Ono propose questa disuguaglianza nel 1914, chiedendo se fosse vera per qualunque triangolo. Questa congettura fu smentita da G. Quijano nel 1915, ma fu dimostrata per i triangoli acuti (incluso quello rettangolo) da F. Balitrand nel 1916.

Un semplice controesempio alla congettura di Ono è a = 3/4, b = 1/2, c = 1.

Dimostrazione

Supponiamo che il triangolo non sia ottusangolo, quindi abbia tutti gli angoli minori o uguali all'angolo retto. Sia γ l'angolo opposto al lato c {\displaystyle c} . Per il teorema del coseno a² +b² − c² = 2ab cosγ. Per l'ipotesi, il coseno di γ è positivo (o al più nullo), e quindi a² +b² − c² ≥ 0. Analogamente si dimostra che b² +c² − a² ≥ 0 e c² +a² − b² ≥ 0.

Sia f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} la funzione

f ( x , y , z ) = ( ( x 2 − z 2 ) 2 + y 2 ( x 2 − 2 y 2 + z 2 ) ) 2 + 15 ( x − z ) 2 ( x + z ) 2 ( z 2 + x 2 − y 2 ) 2 {\displaystyle f(x,y,z)=\left({\left({x^{2}-z^{2}}\right)^{2}+y^{2}\left({x^{2}-2y^{2}+z^{2}}\right)}\right)^{2}+15\left({x-z}\right)^{2}\left({x+z}\right)^{2}\left({z^{2}+x^{2}-y^{2}}\right)^{2}}

Essa è sempre non-negativa ed è uguale a 0 solo per x = y = z {\displaystyle x=y=z} .

Applicando la formula di Erone e svolgendo i calcoli si verifica che:

( 4 A ) 6 − 27 ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 ( b 2 + c 2 − a 2 ) 2 ( c 2 + a 2 − b 2 ) 2 = {\displaystyle \left({4A}\right)^{6}-27\left({a^{2}+b^{2}-c^{2}}\right)^{2}\left({b^{2}+c^{2}-a^{2}}\right)^{2}\left({c^{2}+a^{2}-b^{2}}\right)^{2}=}
= f ( a , b , c ) ( a 2 + b 2 − c 2 ) ( b 2 + c 2 − a 2 ) + f ( c , a , b ) ( c 2 + a 2 − b 2 ) ( a 2 + b 2 − c 2 ) + {\displaystyle =f(a,b,c)\left({a^{2}+b^{2}-c^{2}}\right)\left({b^{2}+c^{2}-a^{2}}\right)+f(c,a,b)\left({c^{2}+a^{2}-b^{2}}\right)\left({a^{2}+b^{2}-c^{2}}\right)+}
+ f ( b , c , a ) ( b 2 + c 2 − a 2 ) ( c 2 + a 2 − b 2 ) ≥ 0 {\displaystyle +f(b,c,a)\left({b^{2}+c^{2}-a^{2}}\right)\left({c^{2}+a^{2}-b^{2}}\right)\geq 0}

con l'uguaglianza se e solo se a = b = c {\displaystyle a=b=c} . Ciò conclude la dimostrazione.

Bibliografia

  • F. Balitrand, Problem 4417, in Intermed. Math., vol. 23, 1916, pp. 86–87.
  • T. Ono, Problem 4417, in Intermed. Math., vol. 21, 1914, p. 146.
  • G. Quijano, Problem 4417, in Intermed. Math., vol. 22, 1915, p. 66.
  • Dragoslav S. Mitrinović, Josip E. Pečarić; Vladimir Volenec, Recent Advances in Geometric Inequalities, Kluwer Academic Publishers, 1989, pp. 240–241, ISBN 90-277-2565-9.

Collegamenti esterni

  • (EN) La disuguaglianza di Ono, su MathWorld.
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