Equazione ipergeometrica

In matematica, l'equazione ipergeometrica è una equazione differenziale ordinaria lineare ottenuta a partire dall'equazione di Papperitz-Riemann. Le sue soluzioni sono dette funzioni ipergeometriche, e rivestono grande importanza in matematica. Ogni equazione differenziale ordinaria del secondo ordine con al massimo tre singolarità regolari può essere trasformata nell'equazione ipergeometrica.

L'equazione ha la forma:

${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\,u(z)+[c-(a+b+1)z]{\frac {d}{dz}}\,u(z)-ab\,u(z)=0}$

ovvero:

${\displaystyle z(1-z)u''+[c-(a+b+1)z]u'-abu=0}$

con ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ e ${\displaystyle z}$ variabili complesse o variabili formali; in genere è opportuno considerare ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ come parametri costanti che caratterizzano una famiglia di equazioni e di soluzioni. L'equazione possiede singolarità regolari, in 0,1 e ${\displaystyle \infty }$.

Lo stesso argomento in dettaglio: Serie ipergeometrica.

Generalmente si può facilmente ricavare questa equazione dall'equazione di Papperitz-Riemann, ma è possibile dimostrare che ogni equazione fuchsiana con tre punti di singolarità fuchsiane può sempre essere ricondotta alla ipergeometrica. Se si riesce a padroneggiare questa riconduzione si ha il vantaggio di conoscere già le soluzioni di quest'ultima e poter ricavare facilmente le soluzioni della prima.

Si usa spesso esprimere la soluzione tramite il simbolo P di Riemann:

${\displaystyle u:=P{\begin{Bmatrix}0&1&\infty \\0&0&a&z\\1-c&c-a-b&b\end{Bmatrix}}}$

L'espressione esplicita di una prima soluzione ${\displaystyle \,u_{1}}$ si può determinare esprimendola come serie di potenze:

${\displaystyle u_{1}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$

spostando il problema all'analisi dei coefficienti di tale serie, ovvero alle soluzioni di un sistema numerabile di equazioni algebriche nelle incognite ${\displaystyle c_{n}}$. Sostituendo e trovando una prima soluzione per i ${\displaystyle c_{n}}$ si ottiene una prima soluzione del tipo:

${\displaystyle u_{1}=F(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a)_{k}(b)_{k}}{(c)_{k}\,k!}}z^{k}}$

con ${\displaystyle \left|z\right|<1}$ e ${\displaystyle c\neq n,n=-1,-2,-3\dots }$; qui si sono utilizzati fattoriali crescenti come ${\displaystyle \,(a)_{k}}$.

In maniera analoga si può ricavare la seconda soluzione ${\displaystyle u_{2}}$, linearmente indipendente da ${\displaystyle u_{1}}$ solo se gli esponenti (o la loro parte reale se sono complessi) non differiscono per numeri interi:

${\displaystyle u_{2}=(1-z)^{c-1}F(a+1-c,b+1-c;2-c;z)=(1-z)^{c-1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a+1-c)_{k}\,(b+1-c)_{k}}{(2-c)_{k}\,k!}}\,z^{k}}$

con ${\displaystyle \left|z\right|<1}$ e ${\displaystyle 1-c\neq n,n=0,-1,-2,-3\dots }$.

Nel caso in cui gli esponenti differiscano per interi si ha una seconda soluzione di tipo logaritmico:

${\displaystyle u_{2}=au_{1}(z)\log(z-z_{0})+(z-z_{0})^{\rho _{1}}\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}(z-z_{0})^{k}}$

Sfruttando le proprietà di trasformazione del simbolo P di Riemann si può facilmente ricavare delle relazioni tra le soluzioni dell'Equazione Ipergeometrica. La prima che andremo ad analizzare va sotto il nome di relazione di autotrasformazione:

${\displaystyle F(a,b;c;z)\,=\,(1-z)^{c-a-b}F(c-a,c-b;c;z)}$

che risulta valida anche per ${\displaystyle c}$ numero intero positivo, per motivi di continuità. Un'altra relazione è la prima delle formule di Bolza:

${\displaystyle F(a,b;c;z)\,=\,(1-z)^{-a}F\left(a,c-1;c;{\frac {z}{1-z}}\right)}$

Vale la seguente formula per la derivata n-esima di una funzione ipergeometrica:

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}F(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c_{n})}}F(a+n,b+n;c+n;z)}$

Risolvendo l'integrale complesso (integrale ipergeometrico):

${\displaystyle I(z)=\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt}$

si ottiene il risultato:

${\displaystyle I(z)={\frac {\Gamma (a)\Gamma (c-a)}{\Gamma (c)}}F(a,b;c;z)}$

dove ${\displaystyle \Gamma }$ denota la funzione gamma.

Questo risultato consente di vedere che la funzione ipergeometrica ammette la rappresentazione integrale (di Eulero):

${\displaystyle F(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (a)\Gamma (c-a)}{\Gamma (c)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt}$

Inoltre utilizzando quest'ultima relazione si ricava facilmente il valore della funzione ipergeometrica nel limite${\displaystyle \,z\rightarrow 1^{-}}$:

${\displaystyle F(a,b;c;1^{-})={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}}$

• Cesare Rossetti (1975): Metodi matematici per la fisica, Libreria Editrice Universitaria Levrotto & Bella, Torino, Capitolo 9.
• (FR) Edouard Goursat (1936) Leçons sur les séries hypergéométriques et sur quelques fonctions qui s'y rattachent, Hermann, Parigi.
• (FR) Joseph Kampé de Fériet (1937) La fonction hypergéométrique Mémorial des sciences mathématiques, n° 85, Gauthier-Villars, Parigi.
• (EN) Erdély, Magnus, Oberhettinger, Tricomi (1953) Higher transcendental functions Vol. I, Krieger Publishing, Ristampa Mc Graw-Hill (1981), Chapter II.
• (EN) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (1964): Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4, Chapter 15.
• (EN) Earl D. Rainville (1945): The contiguous function relations for ${\displaystyle {}_{p}F_{q}}$ with application to Batemean's ${\displaystyle J_{n}^{u,\nu }}$ and Rice's ${\displaystyle H_{n}\left({\zeta ,p,\nu }\right)}$ Bulletin of the American Mathematical Society 51, p. 714.
• (EN) G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy (1999): Special functions, Cambridge University Press, Chapter 2.

• Equazione di Papperitz-Riemann
• Equazione ipergeometrica confluente
• Serie ipergeometrica

• (EN) Eric W. Weisstein, Equazione ipergeometrica, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Equazione ipergeometrica, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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