In meccanica classica, una forza centrale è una forza diretta lungo la congiungente del punto di applicazione e un punto fisso, detto centro della forza, e tale che in ogni momento il modulo sia funzione esclusivamente del raggio vettore tra il punto di applicazione della forza e il centro.
Per convenzione, il verso della forza si intende verso l'esterno rispetto al centro di forza. Per tale motivo, se la forza è uscente dal centro di forza essa è detta repulsiva, al contrario, se è entrante allora essa è detta attrattiva:
![{\displaystyle \mathbf {F} =F(\mathbf {r} )\mathbf {\hat {r}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb21672d9d44e828fd3fc29da7f09cf2de7be1d)
Le forze centrali sono dette a simmetria sferica se il modulo della forza dipende unicamente dalla distanza tra il punto di applicazione e il centro O e non dall'orientazione del raggio vettore che congiunge i due punti:
![{\displaystyle \mathbf {F} =F(r)\mathbf {\hat {r}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e829b45b87db38292d302b7985ed85d33ee099f5)
Esempi di forze centrali sono:
- la forza gravitazionale, proporzionale a 1/r2, di verso opposto al vettore posizione (forza attrattiva);
- la forza elettrostatica, proporzionale a 1/r2; il segno delle cariche elettriche interagenti determina se è attrattiva o repulsiva;
- la forza elastica, nel caso di una molla ancorata nell'origine del sistema di riferimento, proporzionale a r, di verso opposto al vettore posizione (forza attrattiva).
Momento meccanico
In un campo di forze centrali, il momento meccanico rispetto al polo O è ovunque nullo:
![{\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} =rF\sin 0=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37f872e098b82e15d40011d536301aebbd6ec1bc)
A causa di ciò si conserva il momento angolare:
![{\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876b40ba942fcc163935cb5b706438cc07a78ef0)
Per un punto materiale il momento angolare è definito come
; siccome
è perpendicolare al piano in cui giace la traiettoria (individuato da
e
) ed è costante, segue che l'intera orbita giace su un piano costante, ovvero che il moto avviene su un piano.
Inoltre ciò comporta che la velocità areolare è costante
Conservatività
Le forze centrali sono anche forze conservative. Questo si può mostrare verificando esplicitamente che il lavoro non dipenda dalla curva su cui è stato calcolato. Consideriamo una forza
centrale e un qualsiasi percorso
di estremi A e B. Poiché per ipotesi:
![{\displaystyle \mathbf {F} =F(r)\mathbf {\hat {r}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e829b45b87db38292d302b7985ed85d33ee099f5)
dove
è il versore relativo al vettore posizione, si ha:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{AB}=\int _{A}^{B}F(r)\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1fbc179a7fc9671e618a01da5cf6f95eca8c27b)
Siccome in coordinate polari il vettore spostamento elementare è
, abbiamo:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{AB}=\int _{r_{A}}^{r_{B}}F(r)\mathop {} \!\mathrm {d} r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df09d39797b4ec4f2ec4d53f166a59f01ae1c70c)
Quindi il lavoro compiuto dalla forza dipende solo dalle distanze di partenza e di arrivo del punto di applicazione. Se la f è integrabile abbiamo esplicitamente una funzione potenziale ed un'energia potenziale associate. L'energia potenziale è
![{\displaystyle U(r)=-\int _{r_{0}}^{r}F(r)\mathop {} \!\mathrm {d} r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a74bfe3bce3db8e29684446d4bd96d0b8cf72e)
con
posto arbitrariamente uguale a
per forze nulle all'infinito.
In quanto conservativi, per i campi a forze centrali vale la seguente relazione:
. Preso il generico campo di forze centrali
,
con
versore di direzione radiale e
, si definisce la funzione di energia potenziale:
.
Dunque, calcoliamo
![{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\partial U \over \partial x}=-k{\partial \over \partial x}\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)=-k\left[-{\frac {1}{2}}{2x \over {\sqrt[{2}]{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}}}\right]=k{x \over r^{3}}\\\displaystyle {\partial U \over \partial y}=-k{\partial \over \partial y}\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)=-k\left[-{\frac {1}{2}}{2y \over {\sqrt[{2}]{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}}}\right]=k{y \over r^{3}}\\\displaystyle {\partial U \over \partial z}=-k{\partial \over \partial z}\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)=-k\left[-{\frac {1}{2}}{2z \over {\sqrt[{2}]{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}}}\right]=k{z \over r^{3}}\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8730a93c3cb13bcbd3b0cb8c98f063ceabac053a)
Dal sistema segue che
![{\displaystyle \nabla U(\mathbf {\hat {r}} )=\left(k{x \over r^{3}},k{y \over r^{3}},k{z \over r^{3}}\right)\implies -\nabla U(\mathbf {\hat {r}} )=\left(-k{x \over r^{3}},-k{y \over r^{3}},-k{z \over r^{3}}\right)=-k{x \over r^{3}}{\hat {\imath }}-k{y \over r^{3}}{\hat {\jmath }}-k{z \over r^{3}}{\hat {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf890a6bc318c57c7362f43316a918ccc88d746d)
Essendo
, si ha:
![{\displaystyle -\nabla U(\mathbf {r} )=-{k \over r^{2}}\mathbf {u} _{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91545a839ee71faf1239c288ca0e5fa073bad7d9)
Si può anche mostrare che una forza centrale è irrotazionale: si può verificare che il rotore di una forza centrale è nullo ovunque (è necessario che f(r) sia una funzione continua e derivabile nel suo dominio di definizione):
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{r}&\mathbf {e} _{\theta }&\mathbf {e} _{\phi }\\{\dfrac {\partial }{\partial r}}&{\dfrac {1}{r}}{\dfrac {\partial }{\partial \theta }}&{\dfrac {1}{r\sin \theta }}{\dfrac {\partial }{\partial \phi }}\\F(r)&0&0\end{vmatrix}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2bffd068b18fe94b23766fadf301ac9f632977f)
L'irrotazionalità del campo è necessaria per la sua conservatività ma non basta: la funzione deve essere definita su un dominio semplicemente connesso (per esempio le forze gravitazionale e di Coulomb).
Voci correlate
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