Frattali per dimensione di Hausdorff
In matematica, un frattale è un oggetto geometrico in cui la dimensione di Hausdorff (δ) è strettamente superiore alla dimensione topologica. Qui di seguito è presentata una lista di frattali per dimensione di Hausdorff crescente, con lo scopo di visualizzare che cosa significhi per un frattale possedere una dimensione bassa o alta.
Frattali deterministici
δ (valore esatto) | δ (valore approssimato) | Nome | Illustrazione | Commenti |
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Biforcazioni dell'equazione logistica | ![]() | Nel diagramma di biforcazione, all'avvicinarsi di ciascuna regione caotica, appare una successione di raddoppiamenti di periodo, in una progressione geometrica tendente a 1/δ. (δF=costante di Feigenbaum=4.6692). | ||
Insieme di Cantor | ![]() | Costruito eliminando la terza parte centrale ad ogni iterazione. Insieme mai denso, né numerabile. | ||
Insieme di Smith-Volterra-Cantor | ![]() | Costruito eliminando la quarta parte centrale ad ogni iterazione. Insieme mai denso, ma avente misura di Lebesgue ½. | ||
Isola di Gosper | ![]() | |||
Attrattore di Hénon | ![]() | L'attrattore di Hénon canonico (con parametri and ) possiede dimensione di Haussdorf δ = 1,261 ± 0,003. Parametri differenti conducono a differenti valori di δ. | ||
Curva di Koch | ![]() | 3 di queste curve formano il fiocco o l'antifiocco di Koch. | ||
Bordo della Curva Terdragon, Fudgeflake | ![]() | L-System: simile alla curva del drago con un angolo di 30°. La Fudgeflake è costruita giustapponendo i 3 segmenti iniziali a formare un triangolo. | ||
Polvere di Cantor in 2D | ![]() | Insieme di Cantor in due dimensioni . | ||
Setaccio di Apollonio | ![]() | |||
Scatola frattale | ![]() | Costruito sostituendo iterativamente ciascun quadrato con una croce di 5 quadrati. | ||
Curva di Koch quadratica (tipo 1) | ![]() | In esso ritroviamo il motivo della scatola frattale (vedi sopra), costruito diversamente. | ||
Curva di Koch quadratica (tipo 2) | ![]() | Chiamata anche "Salsiccia di Minkowski". | ||
Bordo della Curva del Drago | ![]() | Cf. Chang & Zhang[1] | ||
Albero a 3 rami | ![]() ![]() | Ogni ramo si divide in altri 3 rami. (qui i casi a 90° e 60°). La dimensione frattale dell'intero albero è quella dei rami terminali. NB: l'albero a 2 rami possiede dimensione frattale 1. | ||
Triangolo di Sierpiński | Esso è anche il triangolo di Pascal modulo 2. | |||
Curva di Sierpinski a punta di freccia | Stesso limite del triangolo di Sierpinski (vedi sopra), ma ottenuto per iterazione di costruito con una curva unidimensionale. | |||
Triangolo di Tartaglia modulo 3 | ![]() | In generale, per un triangolo modulo k, se k è primo, la dimensione frattale è (Cf.Stephen Wolfram[2]) | ||
Triangolo di Tartaglia modulo 5 | ![]() | Come sopra. | ||
Fiocco esagonale | ![]() | Costruito sostituendo iterativamente ogni esagono con un fiocco di 7 esagoni. Il suo bordo è il fiocco di Koch. Contiene infiniti fiocchi di Koch (bianchi e neri). | ||
Frattale H-I di Rivera | Partendo da un quadrato unitario dividendo le sue dimensioni in tre parti uguali per formare nove quadrati autosimili con il primo quadrato, due quadrati centrali (quello che si trova sopra e quello sotto il quadrato centrale) vengono rimossi in ciascuno dei sette i quadrati non eliminati il processo viene ripetuto, quindi continua indefinitamente. | |||
Curva di Koch a 85°, Frattale di Cesàro | ![]() | Generalizzazione della curva di Koch con un angolo a scelta tra 0 e 90°. La dimensione frattale è allora . Il Frattale di Cesàro è basato su questo motivo. | ||
Fiocco pentagonale | ![]() | Costruito sostituendo iterativamente ogni pentagono con un fiocco di 6 pentagoni. Qui è il rapporto aureo. | ||
Tappeto di Sierpinski | ![]() | |||
Polvere di Cantor in 3D | ![]() | Insieme di Cantor in 3 dimensioni. | ||
Stimato | Bordo della Curva di Lévy | ![]() | Stimato da Duvall and Keesling (1999). La curva di per sé possiede dimensione frattale 2.[non chiaro] | |
Tassellatura di Penrose | ![]() | Cf. Ramachandrarao, Sinha & Sanyal[3] | ||
Insieme di Mandelbrot | ![]() | Qualsiasi oggetto piano contenente un disco possiede dimensione di Hausdorff δ = 2. Il bordo dell'insieme di Mandelbrot possiede ugualmente dimensione di Hausdorff δ = 2. | ||
Curva di Sierpiński | ![]() | Ogni curva che riempie il piano possiede dimensione di Hausdorff 2. | ||
Curva di Hilbert | ![]() | Costruita in maniera simile: la curva di Moore | ||
Curva di Peano | ![]() | E una famiglia di curve costruite in maniera simile, come per esempio le curve di Wunderlich o le curve di Moore. | ||
Lebesgue curve or z-order curve | ![]() | Contrariamente alle curve precedenti, questa è quasi ovunque differenziabile. | ||
Curva del Drago | ![]() | Il suo bordo possiede dimensione frattale 1,5236 (Cf.Chang & Zhang[1]). | ||
Curva Terdragon | ![]() | L-System : F-> F+F-F. angolo=120°. | ||
T-Square | ![]() | |||
Curva di Peano-Gosper | ![]() | Il suo bordo è l'Isola di Gosper. | ||
Tetraedro di Sierpinski | ![]() | |||
H-fractal | ![]() | Ugualmente, l'albero di Mandelbrot, che ha una struttura simile. | ||
2D greek cross fractal | Ogni segmento è sostituito da una croce formata da 4 segmenti. | |||
Attrattore di Lorenz | ![]() | Per precisi valori dei parametri dell'attrattore. | ||
Dodecaedro frattale | ![]() | Ogni dodecaedro è sostituito da 20 dodecaedri. Qui è il rapporto aureo. | ||
Superficie di Koch quadratica (tipo 1) in 3D | ![]() | Estensione tridimensionale della curva di Koch quadratica (tipo 1). L'illustrazione mostra la seconda iterazione. | ||
Interstizi delle sfere di Apollonio | ![]() | Setaccio di Apollonio in 3 dimensioni. Imita la mollica di pane o la spugna. Dimensione calcolata da M. Borkovec, W. De Paris, and R. Peikert[4]. | ||
Superficie di Koch quadratica (tipo 2) in 3D | ![]() | Estensione tridimensionale della curva di Koch quadratica(tipo 2). L'illustrazione mostra la prima iterazione. | ||
Ipercubo di Cantor | Insieme di Cantor in 4 dimensioni. In generale, in uno spazio di dimensione n, l'insieme di Cantor possiede dimensione di Hausdorff | |||
Icosaedro frattale | ![]() | Ogni icosaedro è sostituito da 12 icosaedri. Qui è il rapporto aureo. | ||
Frattale a croce greca in 3D | ![]() | Ogni segmento è sostituito con una croce formata da 6 segmenti. Estensione tridimensionale della croce in due dimensioni. | ||
Ottaedro frattale | ![]() | Ogni ottaedro è sostituito da 6 ottaedri. | ||
Spugna di Menger | ![]() | La sua superficie possiede dimensione frattale . | ||
Curva di Hilbert in 3D | ![]() | Estensione tridimensionale della curva di Hilbert. |
Frattali casuali e naturali
δ (valore esatto) | δ (valore approssimato) | Nome | Illustrazione | Commenti |
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Misurato | Costa della Gran Bretagna | ![]() | ||
Bordo del moto browniano | ![]() | (Cf Gregory Lawler, Oden Schramm et Wendelin Werner[5]). | ||
Polimero 2D | Simile al moto browniano in 2D senza auto-intersezioni. (Cf Sapoval[6]). | |||
Misurato | Costa della Norvegia | ![]() | ||
Misurato | Camminata casuale senza intersezioni | ![]() | Camminata casuale all'interno di un quadrato, con algoritmo di "ritorno" per evitare vicoli ciechi. | |
Polimero 3D | Simile al moto browniano all'interno di un cubo, ma senza auto-intersezioni (Cf Sapoval[6]). | |||
Moto browniano | ![]() | O camminata casuale. Le dimensioni di Hausdorff sono uguali a 2 in 2D, in 3D e in tutte le altre dimensioni (K.Falconer "The geometry of fractal sets"). | ||
Cavolfiore | ![]() | Ogni ramo porta 13 rami 3 volte più piccoli. | ||
Superficie polmonare | ![]() | Gli alveoli di un polmone formano una superficie frattale di dimensione vicina a 3 (Cf Sapoval[6]). |
Note
- ^ a b Dimensione frattale della curva del drago
- ^ Stephen Wolfram, Geometry of Binomial Coefficients (1984), su stephenwolfram.com. URL consultato il 29 dicembre 2006 (archiviato dall'url originale il 15 ottobre 2012).
- ^ P. Ramachandrarao, A. Sinha et D. Sanyal, On the fractal nature of Penrose tiling [1] (PDF)
- ^ M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert, The Fractal Dimension of the Apollonian Sphere Packing [2] (PDF)
- ^ G. F. Lawler, O. Schramm, W. Werner, The Dimension of the Planar Brownian Frontier is 4/3 [3] Archiviato il 28 settembre 2007 in Internet Archive. (PDF)
- ^ a b c Bernard Sapoval, Universalités et fractales, Flammarion, collection Champs (2001), ISBN 2080814664
Bibliografia
- 1Kenneth Falconer, Fractal Geometry, John Wiley & Son Ltd; ISBN 0-471-92287-0 (March 1990)
- Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman & Co; ISBN 0-7167-1186-9 (September 1982).
- Heinz-Otto Peitgen, The Science of Fractal Images, Dietmar Saupe (éditeur), Springer Verlag, ISBN 0-387-96608-0 (August 1988)
- Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere, Morgan Kaufmann; ISBN 0-12-079061-0
- Bernard Sapoval, « Universalités et fractales », collection Champs, Flammarion.
Voci correlate
Altri progetti
Altri progetti
- Wikimedia Commons
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Collegamenti esterni
- The fractals on Mathworld [collegamento interrotto], su mathworld.wolfram.com.
- Other fractals on Paul Bourke's website, su local.wasp.uwa.edu.au. URL consultato il 29 dicembre 2006 (archiviato dall'url originale il 5 settembre 2006).
- Soler's Gallery, su soler7.com.
- Fractals on mathcurve.com, su mathcurve.com.
- 1000fractales.free.fr - Project gathering fractals created with various softwares, su 1000fractales.free.fr.
- Fractals unleashed, su library.thinkquest.org. URL consultato il 29 dicembre 2006 (archiviato dall'url originale il 23 settembre 2006).
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