Funzione non espansiva

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In matematica, una funzione non espansiva è una funzione continua tra spazi metrici che, come dice il termine, non allontana i punti.

Più precisamente, se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono spazi metrici e ${\displaystyle f:X\to Y}$ allora essa si dice non espansiva se

${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))\leq d_{X}(x,y)}$ per ogni ${\displaystyle x,y}$ in ${\displaystyle X}$.

Una funzione non espansiva è lipschitziana con costante di Lipschitz 1. Se in particolare vale l'uguaglianza e la funzione è inoltre una biiezione con inversa non espansiva allora ${\displaystyle f}$ è un'isometria.

Se ${\displaystyle X}$ è uno spazio normato, ${\displaystyle S}$ un suo sottoinsieme compatto e convesso e ${\displaystyle T:S\to S}$ è non espansiva, allora ${\displaystyle T}$ ammette punto fisso, cioè esiste un ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle S}$ tale che ${\displaystyle T(x)=x}$.

Per ogni ${\displaystyle n}$ numero naturale e per un fissato ${\displaystyle x_{0}}$ in ${\displaystyle S}$ definiamo ${\displaystyle f_{n}(x)=(1-k_{n})x_{0}+k_{n}T(x)}$, dove ${\displaystyle (k_{n})_{n\in N}\subset (0,1)}$ è una successione di numeri reali convergente a 1. È

${\displaystyle \|f_{n}(x)-f_{n}(y)\|=\|k_{n}(T(x)-T(y)\|=k_{n}\|T(x)-T(y)\|<\|T(x)-T(y)\|\leq \|x-y\|}$,

dunque per ogni ${\displaystyle n}$ naturale ${\displaystyle f_{n}}$ è una contrazione; allora, per il teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli ammette un unico punto fisso ${\displaystyle x_{n}}$.

Sia ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ la successione dei punti fissi. Essa è contenuta in ${\displaystyle S}$, dunque essendo ${\displaystyle S}$ compatto per successioni esiste una sottosuccessione ${\displaystyle (x_{p})_{p}\subset (x_{n})_{n}}$ convergente in ${\displaystyle S}$ ad un punto ${\displaystyle y}$. Allora è

${\displaystyle \|y-T(y)\|\leq \|y-x_{p}\|+\|x_{p}-T(x_{p})\|+\|T(x_{p})-T(y)\|}$.

Il primo e l'ultimo addendo sono infinitesimi per l'ipotesi su ${\displaystyle x_{p}}$ e per la continuità di ${\displaystyle T}$. Il secondo addendo è

${\displaystyle \|x_{p}-T(x_{p})\|=\|f_{p}(x_{p})-T(x_{p})\|=\|(1-k_{p})x_{0}+k_{p}T(x_{p})-T(x_{p})\|}$,

dunque quando ${\displaystyle p\to \infty }$ il primo addendo dentro la norma va a 0 e il secondo e il terzo vanno a ${\displaystyle T(y)}$, cioè ${\displaystyle \|x_{p}-T(x_{p})\|\to 0}$.

Quindi, passando al limite, per il teorema del confronto è

${\displaystyle 0\leq \|y-T(y)\|\leq 0}$, cioè ${\displaystyle \|y-T(y)\|=0}$, cioè ${\displaystyle y=T(y)}$.

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