Grande dodecicosidodecaedro camuso

Grande dodecicosidodecaedro camuso
Tipo	Poliedro stellato uniforme
Forma facce	80 triangoli 24 pentagrammi
Nº facce	104
Nº spigoli	180
Nº vertici	60
Caratteristica di Eulero	-16
Incidenza dei vertici	3.3.3.5/2.3.5/3
Notazione di Wythoff	| 5/3 5/3 3
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Grande esacontaedro esagonale
Proprietà	Non convessità
Politopi correlati
Figura al vertice Poliedro duale
Manuale

In geometria, il grande dodecicosidodecaedro camuso è un poliedro stellato uniforme, vale a dire non convesso o auto-intersecante, dotato di 104 facce - 80 triangolari e 24 a forma di pentagramma - 180 spigoli e 60 vertici,^[1]

Le coordinate cartesiane per i vertici di un grande dodecicosidodecaedro camuso di spigolo pari a 1 sono date da tutte le permutazioni pari di

${\displaystyle \left(\pm {\sqrt {\frac {{\sqrt {5}}-1-2{\sqrt {{\sqrt {5}}-2}}}{8}}},\,\pm {\sqrt {\frac {3-{\sqrt {5}}-{\sqrt {10{\sqrt {5}}-22}}}{8}}},\,\pm {\sqrt {\frac {2+{\sqrt {2{\sqrt {5}}-2}}}{8}}}\right),}$

${\displaystyle \left(0,\,\pm {\frac {\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}{2}},\,\pm {\frac {\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}{2}}\right),}$

${\displaystyle \left(\pm {\sqrt {\frac {3-{\sqrt {5}}+{\sqrt {10{\sqrt {5}}-22}}}{8}}},\,\pm {\sqrt {\frac {2-{\sqrt {2{\sqrt {5}}-2}}}{8}}},\,\pm {\sqrt {\frac {{\sqrt {5}}-1+2{\sqrt {{\sqrt {5}}-2}}}{8}}}\right).}$

Il grande dodecicosidodecaedro camuso condivide tutti i suoi vertici e spigoli, 20 delle sue facce triangolari e tutte le sue facce a forma di pentagramma, con il grande dirombicosidodecaedro, mentre condivide le sue altre 60 facce triangolari e le sue facce a forma di pentagramma con il grande dirombicosidodecaedro dicamuso, che ha lo stesso numero di vertici e di spigoli del grande dirombicosidodecaedro ma con una diversa disposizione delle facce triangolari.

Inviluppo convesso	Grande dodecicosidodecaedro camuso	Grande dirombicosidodecaedro
Grande dirombidodecaedro dicamuso	Composto di venti ottaedri	Composto di venti tetraemiesaedri

Grande esacontaedro esagonale
Tipo	Poliedro stellato
Forma facce	Esagoni irregolari
Nº facce	60
Nº spigoli	180
Nº vertici	104
Caratteristica di Eulero	-16
Gruppo di simmetria	I, [5,3]+, 532
Duale	Grande dodecicosidodecaedro camuso
Manuale

Il grande esacontaedro esagonale è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del grande dodecicosidodecaedro camuso, avente per facce 60 esagoni irregolari non convessi.^[2]

Dato un grande dodecicosidodecaedro camuso di spigolo pari a 1, immaginando il grande esacontaedro esagonale come composto da 60 facce intersecanti a forma di esagono irregolare, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, e considerando la sezione aurea ${\displaystyle \phi }$, ogni faccia risulta avere quattro angoli uguali di ampiezza pari a ${\displaystyle 90^{\circ }}$, un angolo di ampiezza pari a ${\displaystyle \arccos(-\phi ^{-1})\approx 128,172\,707\,627\,01^{\circ }}$ e uno di ampiezza pari a ${\displaystyle 360^{\circ }-\arccos(-\phi ^{-1})\approx 231,827\,292\,372\,99^{\circ }}$, con due lati corti di lunghezza pari a ${\displaystyle 1-\phi ^{-3/2}\approx 0,514\,131\,728\,24}$, due medi di lunghezza pari a ${\displaystyle 1+\phi ^{-3/2}\approx 1,485\,868\,271\,76}$ e due più lunghi di lunghezza pari a 2.

• (EN) Eric W. Weisstein, Grande dodecicosidodecaedro camuso, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Grande esacontaedro esagonale, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.

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