Integrale di Borwein

Nella matematica, un integrale di Borwein è un integrale che coinvolge prodotti di ${\displaystyle \mathrm {sinc} (ax)}$, dove la funzione sinc è data da ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$ per ${\displaystyle x\neq 0}$, e ${\displaystyle \mathrm {sinc} (0)=1}$.^[1][2]

Questi integrali sono importanti per esibire schemi apparenti che, tuttavia, alla fine falliscono. Un esempio è ciò che segue,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}$

Questo schema continua fino a

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

Tuttavia, al passo successivo lo schema evidente fallisce,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}}$

In generale, integrali analoghi valgono ${\displaystyle \pi /2}$ ogni qualvolta che ${\displaystyle 3,5,7,\ldots }$ siano sostituiti da numeri reali positivi tali che la somma dei loro reciproci sia strettamente minore di 1.

Nell'esempio precedente, ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{13}}<1}$, ma ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{15}}>1}$.

L'esempio con una serie più estesa

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx={\frac {\pi }{2}},}$

con tuttavia

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx<{\frac {\pi }{2}},}$

è mostrato in ^[3] insieme a una spiegazione matematica intuitiva del motivo per cui nella serie originale e in quella estesa lo schema fallisce. In questo caso, ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{111}}<2}$, ma ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{113}}>2}$.

Data una sequenza di numeri reali, ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots }$, si può fornire una formula generale per l'integrale ^[1]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx}$

Per affermare la formula, serve considerare delle somme che coinvolgono ${\displaystyle a_{k}}$. In particolare, se ${\displaystyle \gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}}$ è una ${\displaystyle n}$-vettore dove ogni elemento è ${\displaystyle \pm 1}$, allora si scrive ${\displaystyle b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}}$, che è una specie di somma alternata dei primi ${\displaystyle a_{k}}$, e si imposta ${\displaystyle \varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}}$, che è anch'esso ${\displaystyle \pm 1}$. Con questa notazione, il valore dell'integrale di sopra è

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n}}$

dove

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })}$

Nel caso in cui ${\displaystyle a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|}$, si ha ${\displaystyle C_{n}=1}$.

Inoltre, se esiste un ${\displaystyle n}$ tale che per ogni ${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}$ si ha ${\displaystyle 0<a_{n}<2a_{k}}$ e ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$, cioè che ${\displaystyle n}$ è il primo valore per cui la somma dei primi ${\displaystyle n}$ elementi della sequenza supera ${\displaystyle a_{0}}$, allora ${\displaystyle C_{k}=1}$ per ogni ${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}$ ma

${\displaystyle C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}}$

Il primo esempio è il caso in cui ${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2k+1}}}$. Da notare che se ${\displaystyle n=7}$ allora ${\displaystyle a_{7}={\frac {1}{15}}}$ e ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955}$ ma ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02}$, quindi poiché ${\displaystyle a_{0}=1}$, si ottiene

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$

che rimane vera se si toglie qualunque fattore, tuttavia

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx\\[5pt]={}&{\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}}\right)\end{aligned}}}$

che è uguale al valore dato precedentemente.

Fu schedato come bug per il supporto Maple. Ci sono voluti tre giorni allo sviluppatore Jacques Carette per capire che non fosse un errore ^[4].

• Funzione sinc
• Integrale improprio
• Tavola degli integrali indefiniti di funzioni trigonometriche

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