Invarianza (matematica)
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In matematica un oggetto (funzione, insieme, punto, ...) si dice invariante rispetto o sotto una trasformazione se esso rimane inalterato dopo l'azione di tale trasformazione. Il concetto di invarianza è molto simile a quello di punto fisso.
Altrimenti detto, dato un insieme con una relazione d'equivalenza, un invariante è una funzione che sia costante su ogni singola classe: il suo valore non dipende dal rappresentante scelto. Si dice anche che può scendere al quoziente. Tale definizione generalizza la precedente, cui ci si può riportare ponendo come relazione d'equivalenza "c'è una trasformazione che porta l'elemento nell'elemento ".
In teoria delle categorie, ogni funtore definisce un invariante, ma non ogni invariante è funtoriale.
In analisi complessa ci sono delle definizioni accessorie: un insieme si dice invariante in avanti sotto la mappa se , invariante all'indietro se e completamente invariante se è entrambe le cose.
Esempi
- Il modulo di un numero complesso sotto coniugazione complessa
- Il grado di un polinomio sotto trasformazione lineare delle variabili
- Una funzione pari sotto la trasformazione che porta un numero nel suo opposto
- La misura di Lebesgue di un sottoinsieme reale sotto una traslazione
- La varianza di una variabile aleatoria sotto l'addizione di una costante
- Gli insiemi di Fatou e di Julia di una funzione olomorfa sono completamente invarianti sotto
Voci correlate
- Punto fisso
- Simmetria (matematica)
- Invariante topologico
- Sistema dinamico lineare stazionario
- Teoria degli invarianti
Collegamenti esterni
- (EN) invariant, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Invarianza, su MathWorld, Wolfram Research.
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