Legge delle aree

La legge delle aree è una legge di fluidodinamica valida per flussi quasi-unidimensionali stazionari isentropici[1], che pone in relazione le aree di due sezioni trasversali di un tubo di flusso ed i numeri di Mach medi sulle medesime sezioni.

Si ricava ricordando l'espressione della portata in massa per un flusso stazionario, dove cioè la variazione nel tempo delle variabili è trascurabile:

m ˙ = ρ 1 u 1 A 1 = ρ 2 u 2 A 2 {\displaystyle {\dot {m}}=\rho _{1}u_{1}A_{1}=\rho _{2}u_{2}A_{2}}

essendo m la massa (il punto indica la derivazione rispetto al tempo di tale quantità), ρ la densità, u la velocità assiale ed A l'area della sezione (che può essere variabile con x ascissa dell'asse del condotto). I pedici indicano che le quantità appartengono a due diverse sezioni.

È possibile riscrivere la precedente equazione nella forma:

A 2 A 1 = ρ 1 u 1 ρ 2 u 2 {\displaystyle {\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {\rho _{1}u_{1}}{\rho _{2}u_{2}}}}

e dalla definizione di numero di Mach (Ma = u/a, dove a rappresenta la velocità del suono):

A 2 A 1 = ρ 1 a 1 M a 1 ρ 2 a 2 M a 2 {\displaystyle {\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {\rho _{1}\,a_{1}\,\mathrm {Ma} _{1}}{\rho _{2}\,a_{2}\,\mathrm {Ma} _{2}}}}

la quale pone già in relazione le sezioni con i numeri di Mach relativi ad esse, ma permangono anche densità e velocità del suono. Ricordando che, grazie al fatto che il flusso è isentropico, le grandezze di ristagno (o totali) restano costanti, cioè:

ρ 0 = ρ 1 ( 1 + δ M a 1 2 ) 1 γ − 1 = ρ 2 ( 1 + δ M a 2 2 ) 1 γ − 1 {\displaystyle \rho _{0}=\rho _{1}\left(1+\delta \mathrm {Ma} _{1}^{2}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}=\rho _{2}\left(1+\delta \mathrm {Ma} _{2}^{2}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}}
a 0 = a 1 ( 1 + δ M a 1 2 ) 1 2 = a 2 ( 1 + δ M a 2 2 ) 1 2 {\displaystyle a_{0}=a_{1}\left(1+\delta \mathrm {Ma} _{1}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=a_{2}\left(1+\delta \mathrm {Ma} _{2}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}

dove con δ di è indicato (γ − 1)/2 e con γ il rapporto tra i calori specifici a pressione e a volume costante; si possono ora sostituire alle grandezze statiche, le grandezze totali:

A 2 A 1 = M a 1 M a 2 ρ 0 a 0 ( 1 + δ M a 1 2 ) 1 γ − 1 ( 1 + δ M a 1 2 ) 1 2 ( 1 + δ M a 2 2 ) 1 γ − 1 ( 1 + δ M a 2 2 ) 1 2 ρ 0 a 0 {\displaystyle {\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {\mathrm {Ma} _{1}}{\mathrm {Ma} _{2}}}{\frac {\rho _{0}a_{0}}{\left(1+\delta \mathrm {Ma} _{1}^{2}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}\left(1+\delta \mathrm {Ma} _{1}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}{\frac {\left(1+\delta \mathrm {Ma} _{2}^{2}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}\left(1+\delta \mathrm {Ma} _{2}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}{\rho _{0}a_{0}}}}

ed infine:

A 2 A 1 = M a 1 M a 2 ( 1 + δ M a 2 2 1 + δ M a 1 2 ) γ + 1 2 ( γ − 1 ) {\displaystyle {\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {\mathrm {Ma} _{1}}{\mathrm {Ma} _{2}}}\left({\frac {1+\delta \mathrm {Ma} _{2}^{2}}{1+\delta \mathrm {Ma} _{1}^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{2\left(\gamma -1\right)}}}

che rappresenta appunto la formulazione matematica della legge delle aree.

Note

  1. ^ Ovvero in assenza di attrito ed in assenza di scambi di calore e lavoro con l'esterno.

Voci correlate

  • Regola delle aree

Collegamenti esterni

  • www.ingegneriaaerospaziale.net, su ingegneriaaerospaziale.net.
  • Appunti del corso di gasdinamica del prof. Michele Napolitano (Politecnico di Bari), su climeg.poliba.it. URL consultato il 10 ottobre 2008 (archiviato dall'url originale il 19 ottobre 2008).
  • Appunti del corso di motori per aeromobili dei proff. F. Gamma, D. Lentini, F. Nasuti (Università di Roma "la Sapienza") (PDF), su dma.ing.uniroma1.it.
  Portale Aviazione
  Portale Fisica
  Portale Ingegneria