Lemma di Dynkin

Il lemma di Dynkin, altresì detto teorema delle classi monotone, è un enunciato importante in teoria della misura che ha, tra le varie conseguenze, il teorema di unicità delle probabilità. Deve il suo nome al matematico russo Evgenij Borisovič Dynkin.

Un ${\displaystyle \pi }$-sistema è una famiglia di parti ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ di un insieme ${\displaystyle \Omega }$ con le seguenti caratteristiche:

• ${\displaystyle {\mathcal {I}}\neq \varnothing ;}$
• ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {I}}\Rightarrow A\cap B\in {\mathcal {I}}.}$

Una classe monotona (detta anche ${\displaystyle \lambda }$-sistema) è una famiglia di parti ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ di un insieme ${\displaystyle \Omega }$ con le seguenti caratteristiche:

• ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {M}};}$
• ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {M}},A\subset B\Rightarrow B\setminus A\in {\mathcal {M}};}$
• ${\displaystyle \{A_{n}\}\in {\mathcal {M}}}$, ${\displaystyle A_{n}\subset A_{n+1}\Rightarrow \bigcup _{n=1}^{\infty }{A_{n}}\in {\mathcal {M}}.}$

Si definisce ${\displaystyle \sigma }$-algebra generata da una famiglia di parti ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, in notazione ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$ la più piccola ${\displaystyle \sigma }$-algebra contenente ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$; analogamente e con la notazione ${\displaystyle \lambda ({\mathcal {F}})}$ è definita la classe monotona generata da ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

Se ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ è un ${\displaystyle \pi }$-sistema contenente ${\displaystyle \Omega }$, allora si ha l'uguaglianza ${\displaystyle \lambda ({\mathcal {I}})=\sigma ({\mathcal {I}})}$.

Infatti, se ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ contiene ${\displaystyle \Omega }$ allora è evidente che ${\displaystyle \lambda ({\mathcal {I}})}$ è chiusa per passaggio al complementare, perché ${\displaystyle A^{c}=\Omega \setminus A}$ e una classe monotona è chiusa rispetto alla differenza insiemistica. Abbiamo dimostrato la prima delle due caratteristiche fondamentali di una ${\displaystyle \sigma }$-algebra.

Se una classe di insiemi è chiusa per passaggio al complementare e per intersezioni finite, applicando le leggi di De Morgan, essa è chiusa per unioni finite. Se inoltre una famiglia di insiemi è chiusa per unioni finite e per unioni numerabili crescenti (terza proprietà di classe monotona nell'elenco), allora questa sarà chiusa per tutte le unioni numerabili (altra proprietà fondante delle ${\displaystyle \sigma }$-algebre).

Non resta che dimostrare la chiusura di ${\displaystyle \lambda ({\mathcal {I}})}$. La suddetta dimostrazione si articola in due parti:

• ${\displaystyle A\in {\mathcal {I}},B\in \lambda ({\mathcal {I}})\Rightarrow A\cap B\in \lambda ({\mathcal {I}});}$
• ${\displaystyle A\in \lambda ({\mathcal {I}}),B\in \lambda ({\mathcal {I}})\Rightarrow A\cap B\in \lambda ({\mathcal {I}}).}$

Non si tratta che di effettuare banali verifiche delle proprietà di ${\displaystyle \lambda }$-sistema sulle seguenti classi di insiemi:

• ${\displaystyle {\mathcal {M}}:=\{B\in \lambda ({\mathcal {I}})|A\cap B\in \lambda ({\mathcal {I}}),A\in {\mathcal {I}}\};}$
• ${\displaystyle {\mathcal {M}}':=\{B\in \lambda ({\mathcal {I}})|A\cap B\in \lambda ({\mathcal {I}}),A\in \lambda ({\mathcal {I}})\}.}$

• Jean Jacod e Philip E. Protter, Probability Essentials, Berlino, Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-43871-8.

• Misura (matematica)
• Sigma-algebra

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