Lemma di Gronwall

Nell'analisi matematica, il lemma di Grönwall (o disuguaglianza di Grönwall) permette di limitare una funzione che soddisfa una certa disuguaglianza differenziale o integrale con la soluzione della corrispondente equazione differenziale o integrale. Ci sono due forme del lemma, una forma differenziale e una integrale. Per quest'ultimo esistono diverse varianti.

Il lemma di Grönwall è uno strumento importante per ottenere varie stime nella teoria delle equazioni differenziali ordinarie e stocastiche. In particolare, fornisce un teorema del confronto che può essere usato per dimostrare l'unicità di una soluzione al problema di Cauchy; vedere il teorema di Picard–Lindelöf.

Il suo nome deriva da Thomas Hakon Grönwall (1877–1932). Grönwall è la grafia svedese del suo nome, ma dopo essere emigrato negli Stati Uniti firmerà le pubblicazioni scientifiche come Gronwall.

La forma differenziale della disuguaglianza fu provata da Grönwall nel 1919.^[1] La forma integrale fu invece dimostrata da Richard Bellman nel 1943 (per questo motivo la disuguaglianza viene chiamata anche di Grönwall–Bellman).^[2]

Una generalizzazione non lineare del lemma è conosciuta come la disuguaglianza di Bihari–LaSalle. Altre varianti e generalizzazioni possono essere trovate in Pachpatte, B.G. (1998).^[3]

Sia ${\displaystyle I}$ un intervallo della retta reale nella forma ${\displaystyle [a,+\infty )}$ o ${\displaystyle [a,b]}$ o ${\displaystyle [a,b)}$ con ${\displaystyle a<b}$. Siano inoltre ${\displaystyle \beta }$ e ${\displaystyle u}$ funzioni continue a valori reali definite su ${\displaystyle I}$. Se ${\displaystyle u}$ è derivabile nella parte interna ${\displaystyle I^{o}}$ di ${\displaystyle I}$ (l'intervallo ${\displaystyle I}$ senza gli estremi) e soddisfa la disuguaglianza differenziale

${\displaystyle u'(t)\leq \beta (t)\,u(t),\qquad t\in I^{\circ },}$

allora ${\displaystyle u}$ è limitata dalla soluzione della corrispondente equazione differenziale ${\displaystyle y'(t)=\beta (t)y(t)}$:

${\displaystyle u(t)\leq u(a)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}}$

per ogni ${\displaystyle t\in I}$.

Osservazione: Non ci sono ipotesi sul segno delle funzioni ${\displaystyle \beta }$ e ${\displaystyle u}$.

Si definisce la funzione

${\displaystyle v(t)=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.}$

Si nota che ${\displaystyle v}$ soddisfa

${\displaystyle v'(t)=\beta (t)\,v(t),\qquad t\in I^{\circ },}$

con ${\displaystyle v(a)=1}$ e ${\displaystyle v(t)>0}$ per ogni ${\displaystyle t\in I}$. Per la regola del quoziente

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {u(t)}{v(t)}}={\frac {u'(t)\,v(t)-v'(t)\,u(t)}{v^{2}(t)}}={\frac {u'(t)\,v(t)-\beta (t)\,v(t)\,u(t)}{v^{2}(t)}}\leq 0,\qquad t\in I^{\circ },}$

Perciò la derivata della funzione ${\displaystyle u(t)/v(t)}$ è non positiva e quindi la funzione è decrescente e limitata superiormente dal suo valore nell'estremo sinistro ${\displaystyle a}$ dell'intervallo ${\displaystyle I}$:

${\displaystyle {\frac {u(t)}{v(t)}}\leq {\frac {u(a)}{v(a)}}=u(a),\qquad t\in I,}$

che è la disuguaglianza di Grönwall.

Sia ${\displaystyle I}$ un intervallo della retta reale nella forma ${\displaystyle [a,+\infty )}$ o ${\displaystyle [a,b]}$ o ${\displaystyle [a,b)}$ con ${\displaystyle a<b}$. Siano inoltre ${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle \beta }$ e ${\displaystyle u}$ funzioni a valori reali definite su ${\displaystyle I}$. Si assuma che ${\displaystyle \beta }$ e ${\displaystyle u}$ siano continue e che la parte negativa di ${\displaystyle \alpha }$ sia integrabile in ogni sottointervallo chiuso e limitato di ${\displaystyle I}$.

• (a) Se ${\displaystyle \beta }$ è non negativa e se ${\displaystyle u}$ soddisfa la seguente disuguaglianza integrale

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s,\qquad \forall t\in I,}$

allora

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s,\qquad t\in I.}$

• (b) Se, inoltre, la funzione ${\displaystyle \alpha }$ è non decrescente, allora

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.}$

Osservazioni:

• Non ci sono ipotesi sul segno di ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle u}$.
• Comparata alla forma differenziale, la derivabilità di ${\displaystyle u}$ non è richiesta nella forma integrale.
• Per una versione del lemma di Grönwall che non richieda la continuità di ${\displaystyle \beta }$ e ${\displaystyle u}$, vedere la sezione successiva.

(a) Si definisce

${\displaystyle v(s)=\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r,\qquad s\in I.}$

Usando la regola del prodotto, la regola della catena, la derivata della funzione esponenziale e il Teorema fondamentale del calcolo integrale, si ottiene per la derivata

${\displaystyle v'(s)={\biggl (}\underbrace {u(s)-\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r} _{\leq \,\alpha (s)}{\biggr )}\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad s\in I,}$

dove si è usata la disuguaglianza integrale nell'ipotesi. Dato che ${\displaystyle \beta }$ e l'esponenziale sono non negativi, questo dà una stima superiore per la derivata di ${\displaystyle v}$. Siccome ${\displaystyle v(a)=0}$, dall'integrazione di questa disuguaglianza da ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle t}$ si ricava

${\displaystyle v(t)\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s.}$

Usando la definizione di ${\displaystyle v(t)}$ dal passo precedente, insieme alla equazione funzionale dell'esponenziale, si ottiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s&=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}v(t)\\&\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\underbrace {\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r-\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r} _{=\,\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r}{\biggr )}\mathrm {d} s.\end{aligned}}}$

Sostituendo nella disuguaglianza integrale assunta nelle ipotesi si ha la disuguaglianza cercata.

(b) Se la funzione ${\displaystyle \alpha }$ è non decrescente, allora dalla parte (a), il fatto ${\displaystyle \alpha (s)\leq \alpha (t)}$, e il teorema fondamentale del calcolo implica che

${\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&\leq \alpha (t)+{\biggl (}{-}\alpha (t)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}{\biggr )}{\biggr |}_{s=a}^{s=t}\\&=\alpha (t)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad t\in I.\end{aligned}}}$

Sia ${\displaystyle I}$ un intervallo della retta reale nella forma ${\displaystyle [a,+\infty )}$ o ${\displaystyle [a,b]}$ o ${\displaystyle [a,b)}$ con ${\displaystyle a<b}$. Siano ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle u}$ funzioni misurabili definite su ${\displaystyle I}$ e sia ${\displaystyle \mu }$ una misura non negativa definita sulla σ-algebra di Borel di ${\displaystyle I}$ che soddisfa ${\displaystyle \mu ([a,t])<\infty }$ per ogni ${\displaystyle t\in I}$ (questo è certamente soddisfatto quando ${\displaystyle \mu }$ è una misura localmente finita). Si assuma che ${\displaystyle u}$ sia integrabile rispetto a ${\displaystyle \mu }$ nel senso che

${\displaystyle \int _{[a,t)}|u(s)|\,\mu (\mathrm {d} s)<\infty ,\qquad t\in I,}$

e che soddisfa la disuguaglianza integrale

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}u(s)\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I.}$

Se, inoltre,

• la funzione ${\displaystyle \alpha }$ è non negativa o
• la funzione ${\displaystyle t\mapsto \mu ([a,t])}$ è continua per ${\displaystyle t\in I}$ } e la funzione ${\displaystyle \alpha }$ è integrabile rispetto a ${\displaystyle \mu }$ nel senso che

${\displaystyle \int _{[a,t)}|\alpha (s)|\,\mu (\mathrm {d} s)<\infty ,\qquad t\in I,}$

allora ${\displaystyle u}$ soddisfa la seguente disuguaglianza

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}\alpha (s)\exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}\,\mu (\mathrm {d} s)}$

per ogni ${\displaystyle t\in I}$, dove ${\displaystyle I_{s,t}}$ indica l'intervallo aperto ${\displaystyle (s,t)}$.

• Non ci sono ipotesi sulla continuità di ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle u}$.
• Il valore infinito è permesso nell'integrale della disuguaglianza.
• Se ${\displaystyle \alpha }$ è la funzione zero e ${\displaystyle u}$ è non negativo, allora la disuguaglianza di Grönwall implica che ${\displaystyle u}$ è anch'essa la funzione zero.
• L'integrabilità di ${\displaystyle u}$ rispetto a ${\displaystyle \mu }$ è essenziale per l'enunciato. Per un controesempio, sia ${\displaystyle \mu }$ la misura di Lebesgue sull'intervallo unitario ${\displaystyle [0,1]}$, con ${\displaystyle u(0)=0}$,${\displaystyle u(t)=1/t}$ per ${\displaystyle t\in (0,1]}$ e ${\displaystyle \alpha }$ la funzione zero.
• La versione data nel testo di S. Ethier and T. Kurtz.^[4] richiede le ipotesi più forti che ${\displaystyle \alpha }$ sia una costante non negativa e ${\displaystyle u}$ sia limitata su intervalli limitati, ma non assume che ${\displaystyle \mu }$ sia localmente finita. Comparato a quella data successivamente, la loro dimostrazione non discute il comportamento di ${\displaystyle R_{n}(t)}$.

• Se la misura ${\displaystyle \mu }$ ha una densità ${\displaystyle \beta }$ rispetto alla misura di Lebesgue, allora il lemma di Grönwall può essere riscritto come

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I.}$

• Se la funzione ${\displaystyle \alpha }$ è non negativa e la densità ${\displaystyle \beta }$ di ${\displaystyle \mu }$ è limitata da una costante ${\displaystyle c}$, allora

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+c\int _{a}^{t}\alpha (s)\exp {\bigl (}c(t-s){\bigr )}\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I.}$

• Se, in aggiunta, la funzione non negativa ${\displaystyle \alpha }$ è non decrescente, allora

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+c\alpha (t)\int _{a}^{t}\exp {\bigl (}c(t-s){\bigr )}\,\mathrm {d} s=\alpha (t)\exp(c(t-a)),\qquad t\in I.}$

La dimostrazione è divisa in tre passi. Un'idea è di sostituire ${\displaystyle n}$ volte la disuguaglianza integrale in se stessa. Questo è fatto nella Affermazione 1 per induzione matematica. In Affermazione 2 si riscrive la misura del simplesso in una forma conveniente, usando l'invarianza sotto permutazioni delle misure prodotto. Nell'ultima parte, si prende ${\displaystyle n\to \infty }$ per derivare la variante desiderata della disuguaglianza di Grönwall.

Per ogni numero naturale ${\displaystyle n}$ incluso lo zero,

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}\alpha (s)\sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s)+R_{n}(t)\qquad (1)}$

con resto

${\displaystyle R_{n}(t):=\int _{[a,t)}u(s)\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I,}$

dove

${\displaystyle A_{n}(s,t)=\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}\},\qquad n\geq 1,}$

è un simplesso ${\displaystyle n}$-dimensionale e

${\displaystyle \mu ^{\otimes 0}(A_{0}(s,t)):=1.}$

Dimostrazione della prima parte: Si usa l'induzione matematica. Per ${\displaystyle n=0}$ è la disuguaglianza integrale nelle ipotesi, perché la somma vuota è definita come zero.

Passo induttivo da ${\displaystyle n}$ a ${\displaystyle n+1}$: Inserendo la disuguaglianza per ${\displaystyle u}$ assunta per ipotesi nel resto si ha

${\displaystyle R_{n}(t)\leq \int _{[a,t)}\alpha (s)\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s)+{\tilde {R}}_{n}(t)}$

con

${\displaystyle {\tilde {R}}_{n}(t):=\int _{[a,t)}{\biggl (}\int _{[a,q)}u(s)\,\mu (\mathrm {d} s){\biggr )}\mu ^{\otimes n}(A_{n}(q,t))\,\mu (\mathrm {d} q),\qquad t\in I.}$

Usando il teorema di Fubini per scambiare i due integrali, si ottiene

${\displaystyle {\tilde {R}}_{n}(t)=\int _{[a,t)}u(s)\underbrace {\int _{(s,t)}\mu ^{\otimes n}(A_{n}(q,t))\,\mu (\mathrm {d} q)} _{=\,\mu ^{\otimes n+1}(A_{n+1}(s,t))}\,\mu (\mathrm {d} s)=R_{n+1}(t),\qquad t\in I.}$

Quindi la disuguaglianza è dimostrata per ${\displaystyle n+1}$.

Per ogni numero naturale ${\displaystyle n}$ incluso lo zero e tutti i ${\displaystyle s<t}$ in ${\displaystyle I}$

${\displaystyle \mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\leq {\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{n}}{n!}}\qquad (2)}$

con l'uguaglianza nel caso in cui ${\displaystyle t\mapsto \mu ([a,t])}$ è continua per ${\displaystyle t\in I}$.

Dimostrazione della seconda parte: Per ${\displaystyle n=0}$, l'enunciato è vero per definizione. Dunque, si considererà ${\displaystyle n\geq 1}$.

Sia ${\displaystyle S_{n}}$ l'insieme di tutte le permutazioni degli indici in ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$. Per ogni permutazione ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ si definisce

${\displaystyle A_{n,\sigma }(s,t)=\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{\sigma (1)}<s_{\sigma (2)}<\cdots <s_{\sigma (n)}\}.}$

Questi insiemi sono disgiunti per differenti permutazioni e

${\displaystyle \bigcup _{\sigma \in S_{n}}A_{n,\sigma }(s,t)\subset I_{s,t}^{n}.}$

Pertanto,

${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}\mu ^{\otimes n}(A_{n,\sigma }(s,t))\leq \mu ^{\otimes n}{\bigl (}I_{s,t}^{n}{\bigr )}={\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{n}.}$

Dal momento che essi hanno la stessa misura rispetto a ${\displaystyle n}$-prodotti di ${\displaystyle \mu }$, e poiché ci sono ${\displaystyle n!}$ permutazioni in ${\displaystyle s_{n}}$, la disuguaglianza desiderata segue di conseguenza.

Si assuma ora che ${\displaystyle t\mapsto \mu ([a,t])}$ sia continua per ${\displaystyle t\in I}$. Allora, per differenti indici ${\displaystyle i,j\in \{1,2,\ldots ,n\}}$, l'insieme

${\displaystyle \{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{i}=s_{j}\}}$

è contenuto in un iperpiano, quindi dall'applicazione del teorema di Fubini la sua misura rispetto ad ${\displaystyle n}$ prodotti della misura è zero. Poiché

${\displaystyle I_{s,t}^{n}\subset \bigcup _{\sigma \in S_{n}}A_{n,\sigma }(s,t)\cup \bigcup _{1\leq i<j\leq n}\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{i}=s_{j}\},}$

l'uguaglianza è dimostrata e la (2) segue di conseguenza.

Per ogni numero naturale ${\displaystyle n}$, (2) implica per il resto della (1) che

${\displaystyle |R_{n}(t)|\leq {\frac {{\bigl (}\mu (I_{a,t}){\bigr )}^{n}}{n!}}\int _{[a,t)}|u(s)|\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I.}$

Per ipotesi si ha ${\displaystyle \mu (I_{a,t})<\infty }$. Ne segue che l'assunzione dell'integrabilità di ${\displaystyle u}$ implica che

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(t)=0,\qquad t\in I.}$

La seconda parte e la rappresentazione in serie della funzione esponenziale implica la stima

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))\leq \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{k}}{k!}}\leq \exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}}$

${\displaystyle s<t}$ in ${\displaystyle I}$. Se la funzione ${\displaystyle \alpha }$ è non negativa, allora è sufficiente inserire questi risultati nella (1) per derivare la variante della disuguaglianza di Grönwall ottenuta sopra per la funzione ${\displaystyle u}$.

Se ${\displaystyle t\mapsto \mu ([a,t])}$ sia continua per ${\displaystyle t\in I}$ è continua per ${\displaystyle t\in I}$, dalla (1) si ricava

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{k}}{k!}}\to \exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}\qquad {\text{con }}n\to \infty }$

e l'integrabilità della funzione ${\displaystyle \alpha }$ permette di usare il teorema della convergenza dominata per concludere la dimostrazione dell'enunciato.

• Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy
• Misura di Lebesgue