Disambiguazione – Se stai cercando il Teorema di Schwarz sulle derivate parziali, vedi Teorema di Schwarz. In matematica, e in particolare in analisi complessa, il lemma di Schwarz descrive una proprietà delle funzioni olomorfe. Il lemma, che prende il nome da Hermann Amandus Schwarz, è un risultato minore, utilizzato per la dimostrazione di altri teoremi più importanti, come il teorema della mappa di Riemann. È uno dei risultati più semplici che caratterizzano la "rigidità" delle funzioni olomorfe, che non trova analogie nel comportamento delle funzioni reali.
Enunciato
Sia
il disco aperto unitario nel piano complesso
e sia
una funzione olomorfa che fissa l'origine, cioè
. Allora valgono le seguenti relazioni:
![{\displaystyle |f(z)|\leq |z|\,\forall z\in D;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f904270120b6cd20c82b59610cfa74dd81f60ce)
![{\displaystyle |f'(0)|\leq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cacf9f87aab8478182f0861d619cb3f502c57b7)
Inoltre, se esiste
tale che
![{\displaystyle |f(z_{0})|=|z_{0}|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5188fd0d0411a1220075efe68caa86d5b9e853e)
oppure
![{\displaystyle \displaystyle |f'(0)|=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20e220c73883ececf9884adba3e3d6b860402806)
allora
è una rotazione nel piano complesso:
![{\displaystyle f(z)=az\quad (|a|=1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec2dff21340914babf10c8f9cf308fa9e03db66)
Dimostrazione
La dimostrazione sfrutta essenzialmente il teorema del massimo modulo, applicandolo alla funzione
![{\displaystyle g(z)={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z}}&{\text{se }}z\neq 0,\\f'(0)&{\text{se }}z=0,\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48b8127dadbdb5e62e74f02330d5c983c6b5346)
che risulta essere analitica nel disco unitario. Considerando un arbitrario disco chiuso interno al disco unitario aperto
![{\displaystyle D_{r}=\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq r<1\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49e125bbb2ec20b515c5c6cd081f17bd27b9630f)
e applicando il teorema del massimo modulo si ha che per
interno al
e
sulla frontiera vale
![{\displaystyle |g(z)|\leq |g(z_{r})|={\frac {|f(z_{r})|}{|z_{r}|}}\leq {\frac {1}{r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8963f2ce990e9e09e59bfc9bfa346742f442cfbc)
Dovendo questo valere per
arbitrariamente vicino a
, risulta
che è la prima parte della tesi.
Se valesse poi
oppure
in un punto
allora la
assumerebbe massimo all'interno del disco, cioè sarebbe una costante
di modulo
. Quindi
cioè
che è la tesi.
Estensioni del teorema
Il teorema di Schwarz-Pick asserisce che, data una funzione olomorfa
, valgono le seguenti relazioni (con
):
![{\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1}}}z_{2}\right|}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9346e29e9a05081cd698bdabb00b5ce7608e694c)
![{\displaystyle {\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leq {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da5ac818c38e9fe80e98ced65184212139327573)
Usando la metrica di Poincaré, definita dalla funzione:
![{\displaystyle d(z_{1},z_{2})=\tanh ^{-1}\left({\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1}}}z_{2}\right|}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e135386fb62b143290b7900a16e277c97ea93fc)
la funzione
risulta essere una funzione contrattiva, in quanto accorcia le distanze tra i punti del piano (teorema di Schwarz–Ahlfors–Pick).
Se per una delle precedenti espressioni vale l'uguaglianza, allora
è un automorfismo analitico, espresso tramite una trasformazione di Möbius.
Il teorema di Schwarz può inoltre essere considerato come un caso particolare del teorema di de Branges.
Bibliografia
- (EN) Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces. New York, Springer-Verlag, 2002 ISBN 3-540-43299-X
- (EN) S. Dineen, The Schwarz Lemma. Oxford University Press, 1989 ISBN 0-19-853571-6
Voci correlate
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