Matrice a diagonale dominante

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In algebra lineare una matrice a diagonale dominante per righe in senso debole, o più comunemente matrice a diagonale dominante (o dominante diagonale), è una matrice quadrata ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ di ordine ${\displaystyle n}$ i cui elementi diagonali sono maggiori o uguali in valore assoluto della somma di tutti i restanti elementi della stessa riga in valore assoluto:

${\displaystyle |a_{ii}|\geq \sum _{j=1,\,j\neq i}^{n}|a_{ij}|.}$

Qualora tale relazione valga in senso stretto, ossia

${\displaystyle |a_{ii}|>\sum _{j=1,\,j\neq i}^{n}|a_{ij}|,}$

la matrice si definisce a diagonale dominante in senso stretto, o in senso forte, per righe, o fortemente dominante diagonale.

Quando le stesse definizioni vengono date per colonne, ossia

${\displaystyle |a_{ii}|\geq \sum _{j=1,\,j\neq i}^{n}|a_{ji}|\qquad {\text{e}}\qquad |a_{ii}|>\sum _{j=1,\,j\neq i}^{n}|a_{ji}|,}$

si hanno rispettivamente una matrice a diagonale dominante per colonne in senso debole (o dominante diagonale per colonne) e una matrice a diagonale dominante in senso stretto, o in senso forte, per colonne (o fortemente dominante diagonale per colonne).

Una matrice quadrata ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ si dice irriducibilmente dominante diagonale (i.d.d.) per righe se:

• ${\displaystyle A}$ è una matrice irriducibile per permutazioni,
• ${\displaystyle A}$ è una matrice a diagonale dominante per righe in senso debole,
• Vale la disuguaglianza stretta per almeno un indice ${\displaystyle i}$, ovverosia esiste un ${\displaystyle i}$ tale per cui ${\displaystyle |a_{ii}|>\sum _{j=1,\,j\neq i}^{n}|a_{ij}|}$.

Analogamente si definisce una matrice i.d.d. per colonne. Per il terzo teorema di Gershgorin, una matrice i.d.d. è sempre non singolare.

Valgono i seguenti teoremi:

• Una matrice ${\displaystyle A}$ è a diagonale dominante (in senso stretto) per righe se rispettivamente ${\displaystyle A^{T}}$ lo è per colonne.
• Analogamente una matrice ${\displaystyle A}$ è a diagonale dominante (in senso stretto) per colonne se rispettivamente ${\displaystyle A^{T}}$ lo è per righe.
• Una matrice a diagonale dominante in senso stretto è sempre non singolare (cioè ha determinante diverso da zero e quindi è invertibile). Questa è una conseguenza del primo teorema di Gershgorin. Non vale per forza lo stesso per una matrice a diagonale dominante in senso debole: per esempio, ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}}$ non è invertibile.

• Se ${\displaystyle A}$ è una matrice a diagonale dominante la sua fattorizzazione ${\displaystyle A=LU}$ può essere ottenuta senza pivoting.
• Se ${\displaystyle A}$ è fortemente dominante diagonale o i.i.d., allora ${\displaystyle a_{ii}\neq 0}$ per ogni ${\displaystyle i}$^[1].

• Se la matrice dei coefficienti ${\displaystyle A}$ di un sistema lineare ${\displaystyle Ax=b}$ è a diagonale dominante in senso stretto o è irriducibilmente dominante diagonale (per righe o per colonne), i metodi di risoluzione iterativa di Jacobi e Gauss-Seidel convergono alla soluzione del sistema (i raggi spettrali delle matrici di iterazione sono strettamente minori di ${\displaystyle 1}$).

• Ogni sottomatrice principale^[2] di una matrice a diagonale dominante è a sua volta una matrice a diagonale dominante.

• Se ${\displaystyle A}$ è una matrice simmetrica (o hermitiana nel caso complesso) a diagonale dominante in senso stretto con elementi sulla diagonale tutti positivi, allora ${\displaystyle A}$ è anche definita positiva^[3].

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