Matrice a diagonale dominante
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In algebra lineare una matrice a diagonale dominante per righe in senso debole, o più comunemente matrice a diagonale dominante (o dominante diagonale), è una matrice quadrata di ordine i cui elementi diagonali sono maggiori o uguali in valore assoluto della somma di tutti i restanti elementi della stessa riga in valore assoluto:
Qualora tale relazione valga in senso stretto, ossia
la matrice si definisce a diagonale dominante in senso stretto, o in senso forte, per righe, o fortemente dominante diagonale.
Quando le stesse definizioni vengono date per colonne, ossia
si hanno rispettivamente una matrice a diagonale dominante per colonne in senso debole (o dominante diagonale per colonne) e una matrice a diagonale dominante in senso stretto, o in senso forte, per colonne (o fortemente dominante diagonale per colonne).
Matrici irriducibilmente dominanti diagonali
Una matrice quadrata si dice irriducibilmente dominante diagonale (i.d.d.) per righe se:
- è una matrice irriducibile per permutazioni,
- è una matrice a diagonale dominante per righe in senso debole,
- Vale la disuguaglianza stretta per almeno un indice , ovverosia esiste un tale per cui .
Analogamente si definisce una matrice i.d.d. per colonne. Per il terzo teorema di Gershgorin, una matrice i.d.d. è sempre non singolare.
Proprietà
Valgono i seguenti teoremi:
- Una matrice è a diagonale dominante (in senso stretto) per righe se rispettivamente lo è per colonne.
- Analogamente una matrice è a diagonale dominante (in senso stretto) per colonne se rispettivamente lo è per righe.
- Una matrice a diagonale dominante in senso stretto è sempre non singolare (cioè ha determinante diverso da zero e quindi è invertibile). Questa è una conseguenza del primo teorema di Gershgorin. Non vale per forza lo stesso per una matrice a diagonale dominante in senso debole: per esempio, non è invertibile.
- Se è una matrice a diagonale dominante la sua fattorizzazione può essere ottenuta senza pivoting.
- Se è fortemente dominante diagonale o i.i.d., allora per ogni [1].
- Se la matrice dei coefficienti di un sistema lineare è a diagonale dominante in senso stretto o è irriducibilmente dominante diagonale (per righe o per colonne), i metodi di risoluzione iterativa di Jacobi e Gauss-Seidel convergono alla soluzione del sistema (i raggi spettrali delle matrici di iterazione sono strettamente minori di ).
- Ogni sottomatrice principale[2] di una matrice a diagonale dominante è a sua volta una matrice a diagonale dominante.
- Se è una matrice simmetrica (o hermitiana nel caso complesso) a diagonale dominante in senso stretto con elementi sulla diagonale tutti positivi, allora è anche definita positiva[3].
Note
- ^ Nel primo caso, la dimostrazione è banale. Nel secondo è necessario mostrare che su ogni riga deve esistere almeno un elemento non diagonale che non è nullo, ed è sufficiente mostrare che altrimenti il grafo associato ad non sarebbe fortemente connesso.
- ^ Ovverosia una sottomatrice quadrata ottenuta eliminando righe e colonne di uguale indice.
- ^ Per il primo teorema di Gershgorin, ha autovalori stanti nel semipiano . Dacché è simmetrica (o hermitiana), tali autovalori sono reali, e dunque positivi. Allora, come conseguenza del teorema spettrale, è definita positiva.
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