Metodo di riduzione dell'ordine

In matematica, il metodo di riduzione dell'ordine è una procedura utilizzata per risolvere equazioni differenziali lineari ordinarie. Frequentemente si applica a equazioni lineari del secondo ordine quando si conosce una soluzione ${\displaystyle y_{1}(x)}$ e si vuole trovare una seconda soluzione linearmente indipendente ${\displaystyle y_{2}(x)}$. Nel caso di equazioni di ordine n produce un abbassamento di grado dell'equazione.

Data un'equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea:

${\displaystyle y''+p(t)y'+q(t)y=r(t)}$

ed una soluzione ${\displaystyle y_{1}(t)}$ dell'equazione omogenea, si vuole trovare una soluzione dell'equazione completa che abbia la forma:

${\displaystyle y_{2}=v(t)y_{1}(t)\,}$

dove ${\displaystyle v(t)}$ è una funzione arbitraria. Derivando:

${\displaystyle y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y_{1}'(t)}$

${\displaystyle y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t)}$

e sostituendo nell'equazione di partenza si ha:

${\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=r(t)}$

Dato che ${\displaystyle y_{1}(t)}$ è soluzione dell'equazione omogenea:

${\displaystyle y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0}$

la precedente si può ridurre a:

${\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=r(t)}$

che è un'equazione del primo ordine per ${\displaystyle v'(t)}$. Dividendo per ${\displaystyle y_{1}(t)}$ si ha:

${\displaystyle v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'={\frac {r(t)}{y_{1}(t)}}}$

Moltiplicando l'equazione per il fattore di integrazione:

${\displaystyle \mu (t)=e^{\int ({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t))dt}=y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt}}$

l'equazione si può ridurre a:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(v'(t)y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt})=y_{1}(t)r(t)e^{\int p(t)dt}}$

Integrando l'ultima equazione si trova ${\displaystyle v'(t)}$, che contiene una costante d'integrazione. Quindi integrando ${\displaystyle v'(t)}$ si giunge alla soluzione dell'equazione non omogenea (con due costanti di integrazione):

${\displaystyle y_{2}(t)=v(t)y_{1}(t)}$

Data l'equazione lineare a coefficienti costanti:

${\displaystyle ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0}$

dove ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ sono coefficienti non nulli, si assuma che l'equazione caratteristica associata:

${\displaystyle a\lambda ^{2}+b\lambda +c=0}$

abbia due radici ripetute:

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=-{\frac {b}{2a}}}$

Una soluzione dell'equazione è allora:

${\displaystyle y_{1}(x)=e^{-{\frac {b}{2a}}x}}$

Per trovare la seconda, si consideri la funzione:

${\displaystyle y_{2}(x)=v(x)y_{1}(x)}$

con ${\displaystyle v(x)}$ una funzione ignota da determinare. La funzione ${\displaystyle y_{2}(x)}$ deve soddisfare l'equazione di partenza; sostituendola in essa si ha:

${\displaystyle a\left(v''y_{1}+2v'y_{1}'+vy_{1}''\right)+b\left(v'y_{1}+vy_{1}'\right)+cvy_{1}=0}$

e raccogliendo le derivate di ${\displaystyle v(x)}$:

${\displaystyle \left(ay_{1}\right)v''+\left(2ay_{1}'+by_{1}\right)v'+\left(ay_{1}''+by_{1}'+cy_{1}\right)v=0}$

Sapendo che ${\displaystyle y_{1}(x)}$ è una soluzione, il coefficiente del termine di grado zero dell'equazione precedente è nullo. Inoltre, sostituendo ${\displaystyle y_{1}(x)}$ nel coefficiente del secondo termine (primo grado) si ha che il coefficiente diventa:

${\displaystyle 2a\left(-{\frac {b}{2a}}e^{-{\frac {b}{2a}}x}\right)+be^{-{\frac {b}{2a}}x}=\left(-b+b\right)e^{-{\frac {b}{2a}}x}=0}$

Rimane quindi soltanto il termine di secondo grado:

${\displaystyle ay_{1}v''=0}$

Essendo ${\displaystyle a\neq 0}$ e ${\displaystyle y_{1}(x)}$ una funzione esponenziale (sempre positiva) si può scrivere:

${\displaystyle v''=0}$

che integrando due volte produce:

${\displaystyle v(x)=c_{1}x+c_{2}}$

dove ${\displaystyle c_{1}}$ e ${\displaystyle c_{2}}$ sono costanti date dall'integrazione. Si può allora scrivere la seconda soluzione come:

${\displaystyle y_{2}(x)=(c_{1}x+c_{2})y_{1}(x)=c_{1}xy_{1}(x)+c_{2}y_{1}(x)}$

Essendo il secondo termine un multiplo scalare della prima soluzione (dunque linearmente dipendente con essa), esso non viene considerato e si giunge a:

${\displaystyle y_{2}(x)=xy_{1}(x)=xe^{-{\frac {b}{2a}}x}}$

Per mostrare che invece la seconda soluzione ${\displaystyle y_{2}(x)}$ è linearmente indipendente, si calcola il Wronskiano:

${\displaystyle W(y_{1},y_{2})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}&xy_{1}\\y_{1}'&y_{1}+xy_{1}'\end{vmatrix}}=y_{1}(y_{1}+xy_{1}')-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}+xy_{1}y_{1}'-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}=e^{-{\frac {b}{2a}}x}\neq 0}$

Quindi ${\displaystyle y_{2}(x)}$ è la seconda soluzione cercata.

• (EN) W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th edition), John Wiley & Sons, Inc., 2005. ISBN 0-471-43338-1.
• (EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Providence, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.

• Equazione di Eulero
• Equazione differenziale lineare
• Equazione differenziale lineare del secondo ordine
• Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie

• (EN) Eric W. Weisstein, Metodo di riduzione dell'ordine, su MathWorld, Wolfram Research.