In matematica, il metodo di riduzione dell'ordine è una procedura utilizzata per risolvere equazioni differenziali lineari ordinarie. Frequentemente si applica a equazioni lineari del secondo ordine quando si conosce una soluzione
e si vuole trovare una seconda soluzione linearmente indipendente
. Nel caso di equazioni di ordine n produce un abbassamento di grado dell'equazione.
Metodo generale
Data un'equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea:
![{\displaystyle y''+p(t)y'+q(t)y=r(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/881b7193abd92793dc19e47d2748e8df8cd5dc3b)
ed una soluzione
dell'equazione omogenea, si vuole trovare una soluzione dell'equazione completa che abbia la forma:
![{\displaystyle y_{2}=v(t)y_{1}(t)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb139fd9d5cb9a5dab4aa0a344e4127ab4bef59)
dove
è una funzione arbitraria. Derivando:
![{\displaystyle y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y_{1}'(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e5f6ed2f40b0052b67365eea65501d76004a92a)
![{\displaystyle y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6716c6dd2ac05bd16652d81b4621df5105dcfb)
e sostituendo nell'equazione di partenza si ha:
![{\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=r(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca64933d5cedb40992bd4f32bcf4fbad15b2be50)
Dato che
è soluzione dell'equazione omogenea:
![{\displaystyle y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c40ac4ae5db3e8a4906d03063a68b9ed9f64c694)
la precedente si può ridurre a:
![{\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=r(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a2a850ea943607959e260f40977a6f6a37252e)
che è un'equazione del primo ordine per
. Dividendo per
si ha:
![{\displaystyle v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'={\frac {r(t)}{y_{1}(t)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84776a42b78c35352085e3b5d96b74f7bd7c65cb)
Moltiplicando l'equazione per il fattore di integrazione:
![{\displaystyle \mu (t)=e^{\int ({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t))dt}=y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b852766e63852c9f2f26b169961ee1039fb8086)
l'equazione si può ridurre a:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(v'(t)y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt})=y_{1}(t)r(t)e^{\int p(t)dt}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92782f9aac0434c90fa7ffc7a290b9a56847c86c)
Integrando l'ultima equazione si trova
, che contiene una costante d'integrazione. Quindi integrando
si giunge alla soluzione dell'equazione non omogenea (con due costanti di integrazione):
![{\displaystyle y_{2}(t)=v(t)y_{1}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c1a073f87fd40df7486b96608e1ed8ed37d2a5)
Esempio
Data l'equazione lineare a coefficienti costanti:
![{\displaystyle ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a0c46ad9e8d126e706645336e33bb42a52b6aa)
dove
,
e
sono coefficienti non nulli, si assuma che l'equazione caratteristica associata:
![{\displaystyle a\lambda ^{2}+b\lambda +c=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25bf4855ca07e420305ccae7c0b4083efd83ffcb)
abbia due radici ripetute:
![{\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=-{\frac {b}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc75cdc61faeb007f52181665a66806c89b7e152)
Una soluzione dell'equazione è allora:
![{\displaystyle y_{1}(x)=e^{-{\frac {b}{2a}}x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a22d439a67670ad072bce91e66b7dc38c4f7494)
Per trovare la seconda, si consideri la funzione:
![{\displaystyle y_{2}(x)=v(x)y_{1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3306f5dd6d27e474007d0c239101d2ebf894f014)
con
una funzione ignota da determinare. La funzione
deve soddisfare l'equazione di partenza; sostituendola in essa si ha:
![{\displaystyle a\left(v''y_{1}+2v'y_{1}'+vy_{1}''\right)+b\left(v'y_{1}+vy_{1}'\right)+cvy_{1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ab57986cbdbdde1f3ae6f8de3eac46934acb18)
e raccogliendo le derivate di
:
![{\displaystyle \left(ay_{1}\right)v''+\left(2ay_{1}'+by_{1}\right)v'+\left(ay_{1}''+by_{1}'+cy_{1}\right)v=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d6f3bf8bc88a2207926d8ee157abeaa03497be3)
Sapendo che
è una soluzione, il coefficiente del termine di grado zero dell'equazione precedente è nullo. Inoltre, sostituendo
nel coefficiente del secondo termine (primo grado) si ha che il coefficiente diventa:
![{\displaystyle 2a\left(-{\frac {b}{2a}}e^{-{\frac {b}{2a}}x}\right)+be^{-{\frac {b}{2a}}x}=\left(-b+b\right)e^{-{\frac {b}{2a}}x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/974458248a7c0a09adf28beb521a836d4fd7c3c1)
Rimane quindi soltanto il termine di secondo grado:
![{\displaystyle ay_{1}v''=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a13ac2b811132a5123941cb7b38c43d145fb57a7)
Essendo
e
una funzione esponenziale (sempre positiva) si può scrivere:
![{\displaystyle v''=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083a281e2dc29949ef0be0c72105aa3b79348772)
che integrando due volte produce:
![{\displaystyle v(x)=c_{1}x+c_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7494027e4a915c0fa91893225d6802c84e992cf1)
dove
e
sono costanti date dall'integrazione. Si può allora scrivere la seconda soluzione come:
![{\displaystyle y_{2}(x)=(c_{1}x+c_{2})y_{1}(x)=c_{1}xy_{1}(x)+c_{2}y_{1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a24dabb08b356ebc1c19dd8e4a30bf89a0722f78)
Essendo il secondo termine un multiplo scalare della prima soluzione (dunque linearmente dipendente con essa), esso non viene considerato e si giunge a:
![{\displaystyle y_{2}(x)=xy_{1}(x)=xe^{-{\frac {b}{2a}}x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6abb184a1d69ce9c20ae3f1a46562928e5591f2b)
Per mostrare che invece la seconda soluzione
è linearmente indipendente, si calcola il Wronskiano:
![{\displaystyle W(y_{1},y_{2})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}&xy_{1}\\y_{1}'&y_{1}+xy_{1}'\end{vmatrix}}=y_{1}(y_{1}+xy_{1}')-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}+xy_{1}y_{1}'-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}=e^{-{\frac {b}{2a}}x}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41bc810eaec7d4c1a469ea6145cc7b35e201ab13)
Quindi
è la seconda soluzione cercata.
Bibliografia
- (EN) W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th edition), John Wiley & Sons, Inc., 2005. ISBN 0-471-43338-1.
- (EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Providence, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Metodo di riduzione dell'ordine, su MathWorld, Wolfram Research.
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