Operatore di Weingarten

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In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, l'operatore di Weingarten è una trasformazione lineare costruita a partire da una superficie contenuta nello spazio tridimensionale.

Se ${\displaystyle \Sigma }$ è una superficie regolare ed ${\displaystyle {\hat {n}}}$ un campo di versori normali su questa superficie, l'operatore forma o di Weingarten è un'applicazione lineare in un punto P:

${\displaystyle W_{P}:T(\Sigma )\longrightarrow T(\Sigma )}$

tale che ad ogni curva u nel punto P sulla superficie sia associato un operatore:

${\displaystyle W_{P}(u)=-{\frac {\partial {\hat {n}}}{\partial u}}}$

Esso è in verità un endomorfismo del piano tangente ed è autoaggiunto, cioè:

${\displaystyle W_{P}(u)\cdot v=u\cdot W_{P}(v)}$

esso dunque è rappresentato da una matrice: gli invarianti di questa matrice (e quindi dell'operatore di Weingarten) hanno un significato geometrico notevole per le caratteristiche delle superfici.

Grazie all'operatore di Weingarten possiamo esprimere la seconda forma differenziale di Gauss come:

${\displaystyle II_{G}=W_{P}(u)\cdot v}$

A questo punto è possibile definire le curvature principali della superficie in un punto P come gli autovalori dell'operatore di Weingarten e, in corrispondenza di essi si trovano le direzioni principali della superficie che sono gli autovettori.

Inoltre la traccia dell'operatore di Weingarten è esattamente la curvatura media della superficie in quel punto:

${\displaystyle H(P)={\frac {1}{2}}\cdot tr(W_{P})}$

e il suo determinante è proprio la curvatura gaussiana della superficie:

${\displaystyle K(P)=det(W_{P})=|W_{P}|}$

L'operatore di Weingarten è un operatore forma dato per definizione:

${\displaystyle W_{P}=I_{G}^{-1}\cdot II_{G}}$

in modo che il problema agli autovalori:

${\displaystyle (II_{G}-k\cdot I_{G}){\vec {w}}=0}$

dove ${\displaystyle I_{G}={\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}$ e ${\displaystyle II_{G}={\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}}$, k è l'autovalore e ${\displaystyle {\vec {w}}}$ l'autovettore corrispondente; abbia soluzioni se si annulla il determinante:

${\displaystyle det(S-k\cdot \mathbb {I} )=det(I_{G}^{-1}\cdot II_{G}-k\cdot I_{G}^{-1}\cdot I_{G})=det(I_{G}^{-1})\cdot det(II_{G}-k\cdot I_{G})}$

I due autovalori di questo determinante sono esattamente le curvature principali massima e minima della superficie in un punto P.

Il determinante di questo operatore è la curvatura di Gauss:

${\displaystyle det(I_{G}^{-1}\cdot II_{G})={\frac {det(II_{G})}{det(I_{G})}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}}$

La traccia di questo operatore è la curvatura media:

${\displaystyle Tr(I_{G}^{-1}\cdot II_{G})=Tr{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}={\frac {LG-2MF+EN}{EG-F^{2}}}}$

• Superficie (matematica)
• Superficie parametrica
• Normale (superficie)

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