Polinomio a valori interi

In matematica, un polinomio a valori interi è un polinomio ${\displaystyle P(x)}$ a coefficienti razionali tale che ${\displaystyle P(n)}$ è un numero intero per ogni intero ${\displaystyle n}$. Tutti i polinomi a coefficienti interi sono a valori interi, ma non viceversa: ad esempio, il polinomio

${\displaystyle {\frac {x(x+1)}{2}}={\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x}$

è a valori interi ma i suoi coefficienti non sono interi.

Tutti i polinomi nella forma

${\displaystyle P_{k}(x)={\frac {x(x-1)\cdots (x-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}}$

sono polinomi a valori interi, perché per ogni intero ${\displaystyle t}$ il valore di ${\displaystyle P_{k}(t)}$ è uguale al coefficiente binomiale ${\displaystyle {\binom {t}{k}}}$, che è un numero intero.

Pólya dimostrò nel 1919 che tutti i polinomi a valori interi derivano da questi: più precisamente, se ${\displaystyle P(x)}$ è un polinomio a valori interi allora esistono dei coefficienti interi ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ (univocamente determinati) tali che

${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}P_{1}(x)+\cdots +a_{n}P_{n}(x)}$.^[1]

Dal punto di vista algebrico, questo implica che l'insieme dei polinomi a valori interi è un gruppo abeliano libero, e l'insieme ${\displaystyle \{1,P_{1}(x),P_{2}(x),\ldots \}}$ è una sua base.

La dimostrazione di questo teorema è effettuata attraverso il metodo delle differenze finite.

L'insieme dei polinomi a valori interi è anche un anello, che è strettamente contenuto tra i due anelli dei polinomi ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ e ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$ dei polinomi a coefficienti (rispettivamente) interi e razionali, ed è generalmente indicato come ${\displaystyle \mathrm {Int} (\mathbb {Z} )}$. Dal punto di vista algebrico, questo anello è un dominio di Prüfer di dimensione 2; in particolare, non è noetheriano. I suoi ideali primi possono essere classificati attraverso i completamenti delle localizzazioni di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ rispetto ai suoi ideali primi.

Il concetto di polinomio a valori interi può essere generalizzato a qualsiasi dominio d'integrità ${\displaystyle D}$: l'insieme ${\displaystyle \mathrm {Int} (D)}$ dei polinomi a valori interi su ${\displaystyle D}$ è formato dai polinomi ${\displaystyle P(x)}$ a coefficienti nel campo dei quozienti ${\displaystyle K}$ di ${\displaystyle D}$ tali che ${\displaystyle P(d)\in D}$ per ogni ${\displaystyle d\in D}$. La struttura di ${\displaystyle \mathrm {Int} (D)}$ come ${\displaystyle D}$-modulo e come anello è strettamente legata alle proprietà algebriche di ${\displaystyle D}$. Ad esempio, se ${\displaystyle D}$ è un dominio noetheriano, allora ${\displaystyle \mathrm {Int} (D)}$ è un dominio di Prüfer se e solo se ${\displaystyle D}$ è un dominio di Dedekind i cui campi residui sono finiti.^[2] È anche possibile che ${\displaystyle \mathrm {Int} (D)}$ coincida semplicemente con l'anello dei polinomi ${\displaystyle D[x]}$, come ad esempio nel caso in cui i campi residui di ${\displaystyle D}$ siano infiniti.^[3]

È inoltre possibile considerare non sono polinomi, ma più in generale funzioni razionali o funzioni intere a valori interi, così come è possibile considerare polinomi che hanno più di una indeterminata. Ad esempio, se ${\displaystyle V}$ è un dominio di valutazione discreta e ${\displaystyle \pi }$ è un elemento che genera il suo ideale massimale, allora

${\displaystyle P(x)={\frac {x}{\pi +x^{2}}}}$

è una funzione razionale che è a valori interi su ${\displaystyle V}$ (ovvero ${\displaystyle f(t)\in V}$ per ogni ${\displaystyle t\in V}$).

Infine, queste costruzioni possono essere considerate considerando polinomi (o funzioni razionali) che abbiano valori interi solo su un sottoinsieme ${\displaystyle E\subseteq D}$ o, ancora più in generale, su un insieme ${\displaystyle E}$ che è contenuto in un campo che contiene anche ${\displaystyle D}$; ovvero, è possibile considerare l'insieme

${\displaystyle \mathrm {Int} (E,D)=\{P(x)\in K[x]\mid P(t)\in D\mathrm {~per~ogni~} t\in E\}}$,

dove ${\displaystyle K}$ è il campo dei quozienti di ${\displaystyle D}$. In questo caso, le proprietà di ${\displaystyle \mathrm {Int} (E,D)}$ dipendono sia dalle proprietà di ${\displaystyle D}$ che da quelle di ${\displaystyle E}$.

• (EN) Paul-Jean Cahen e Jean-Luc Chabert, Integer-Valued Polynomials, American Mathematical Society, 1997, ISBN 0-8218-0388-3.

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