Potenziale di Riesz
Nel calcolo frazionario, il potenziale di Riesz è un potenziale che deve il nome al suo scopritore, il matematico ungherese Marcel Riesz. In un certo senso, il potenziale di Riesz definisce un inverso di una potenza dell'operatore di Laplace nello spazio euclideo. Esso generalizza l'integrale di Riemann–Liouville in più dimensioni.
Definizione
Se , allora il potenziale di Riesz di una funzione localmente integrabile su è la funzione definita come
dove la costante è data da
Questo integrale singolare è ben definito se all'infinito decade sufficientemente veloce, in particolare se Lp(Rn) dove . In effetti, per ogni ( è classico, grazie a Sobolev, mentre per vedere (Schikorra, Spector & Van Schaftingen))), la velocità di decadimento di e e quella di sono collegate da una disuguaglianza (la disuguaglianza di Hardy–Littlewood–Sobolev)
dove è la trasformata vettoriale di Riesz. In generale, gli operatori sono ben definiti per complesso tale che .
Più in generale, si può definire il potenziale di Riesz più debolmente come la convoluzione
dove è una funzione localmente integrabile:
Pertanto si può definire il potenziale di Riesz ogni volta che è una distribuzione a supporto compatto. In questo contesto, il potenziale di Riesz di una misura di Borel con supporto compatto è di principale interesse nella teoria del potenziale, poiché è allora una funzione subarmonica (continua) fuori dal supporto di , ed è inferiormente semicontinua su tutto .
Proprietà
Considerazioni sulla trasformata di Fourier rivelano che il potenziale di Riesz è un moltiplicatore di Fourier.[1] Infatti, si ha
e quindi, per il teorema di convoluzione,
I potenziali di Riesz soddisfano la seguente proprietà di semigruppo su, per esempio, le funzioni continue rapidamente decrescenti
posto che
Inoltre, se , allora
In aggiunta si ha, per questa classe di funzioni,
Note
- ^ Samko, 1998, section II.
Bibliografia
- N. S. Landkof, Foundations of modern potential theory, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1972, MR 0350027.
- Marcel Riesz, L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy, in Acta Mathematica, vol. 81, 1949, pp. 1–223, DOI:10.1007/BF02395016, ISSN 0001-5962 (WC · ACNP), MR 0030102.
- Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Riesz potential", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- Armin Schikorra, Daniel Spector e Jean Van Schaftingen, An -type estimate for Riesz potentials, DOI:10.4171/rmi/937, arXiv:1411.2318.
- Elias Stein, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton, NJ, Princeton University Press, 1970, ISBN 0-691-08079-8.
- Stefan G. Samko, A new approach to the inversion of the Riesz potential operator (PDF), in Fractional Calculus and Applied Analysis, vol. 1, n. 3, 1998, pp. 225-245. URL consultato il 12 giugno 2018 (archiviato dall'url originale il 22 febbraio 2016).
Voci correlate
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