Regola della catena

In analisi matematica, la regola della catena è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione composta di due funzioni derivabili.

La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione esterna, avente come argomento la funzione interna, per la derivata della funzione interna:

${\displaystyle \operatorname {D} [f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x).}$

Le notazioni ${\displaystyle \operatorname {D} [f(x)]}$ e ${\displaystyle f'(x)}$ indicano il medesimo significato di derivata.

La formula è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali. Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),\dots ,x_{n}(t)),\quad t\in \mathbb {R} }$

è un vettore di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ le cui componenti sono funzioni derivabili

${\displaystyle \mathbf {x} '(t)=(x'_{1}(t),x'_{2}(t),\dots ,x'_{n}(t))}$

e se ${\displaystyle f}$ è una funzione differenziabile in ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$, allora la funzione composta

${\displaystyle F(t)=f(\mathbf {x} (t))}$

è differenziabile nella variabile ${\displaystyle t}$ e si ha:

${\displaystyle F'(t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f(\mathbf {x} (t))}{\partial x_{i}}}x'_{i}(t)=\langle {\mathbf {\nabla } F(t)},{\mathbf {x} '(t)}\rangle =\langle {\mathbf {\nabla } f(\mathbf {x} (t))},{\mathbf {\mathbf {x} } '(t)}\rangle }$

dove ${\displaystyle \nabla f}$ è il gradiente di ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ è il prodotto scalare euclideo.

Ad esempio, se ${\displaystyle f}$ è una funzione di due variabili composta dopo la funzione vettoriale ${\displaystyle (g,h)}$, cioè ${\displaystyle f(g(t),h(t))}$, allora:

${\displaystyle {df \over dt}={\partial f \over \partial g}{dg \over dt}+{\partial f \over \partial h}{dh \over dt}.}$

Inoltre, se ${\displaystyle \mathbf {f} }$ e ${\displaystyle \mathbf {g} }$ sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:

${\displaystyle J[(\mathbf {f} \circ \mathbf {g} )(x)]=J[\mathbf {f} (\mathbf {g} (x))]\cdot J[\mathbf {g} (x)],}$

dove ${\displaystyle \cdot }$ è la moltiplicazione di matrici e ${\displaystyle J[\mathbf {f} (x)]}$ è la matrice jacobiana di ${\displaystyle \mathbf {f} }$.

Sia, per non appesantire la notazione, ${\displaystyle \Delta g:=g(x+h)-g(x)}$, da cui ${\displaystyle g(x+h)=g(x)+\Delta g}$. Definiamo ora

${\displaystyle \omega (\Delta g)={\begin{cases}{\frac {f(g(x)+\Delta g)-f(g(x))}{\Delta g}}-f'(g(x)),&{\text{se }}\Delta g\neq 0,\\0,&{\text{se }}\Delta g=0.\end{cases}}}$

È dunque

${\displaystyle f(g(x)+\Delta g)-f(g(x))=f'(g(x))\cdot \Delta g+\omega (\Delta g)\cdot \Delta g.}$

Inoltre, per l'ipotesi di derivabilità di ${\displaystyle f}$, è

${\displaystyle \lim _{\Delta g\to 0}\omega (\Delta g)=0.}$

Esaminiamo ora il rapporto incrementale di ${\displaystyle f(g(x))}$:

${\displaystyle \operatorname {D} [f(g(x))]=\lim _{h\to 0}{\frac {f(g(x+h))-f(g(x))}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(g(x)+\Delta g)-f(g(x))}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(g(x))\cdot \Delta g+\omega (\Delta g)\cdot \Delta g}{h}}.}$

Spezzando la frazione, abbiamo

${\displaystyle \lim _{h\to 0}f'(g(x))\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}+\lim _{h\to 0}\omega (\Delta g)\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}.}$

E quindi passando al limite

${\displaystyle \operatorname {D} [f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)+0\cdot g'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}$

Siano ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle g\colon B\to A}$ derivabili in ogni punto, dove ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} }$.

Dalla definizione di derivata si ha

${\displaystyle \operatorname {D} [(f\circ g)(x)]=\lim _{t\to x}{\frac {f(g(t))-f(g(x))}{t-x}}.}$

L'idea di fondo è dividere il numeratore del rapporto incrementale per ${\displaystyle g(t)-g(x)}$ in modo da ottenere il rapporto incrementale di ${\displaystyle f}$ calcolato nel punto ${\displaystyle g(x)}$, e quindi poter esprimere la derivata della funzione composta in funzione della derivata di ${\displaystyle f}$ calcolata in ${\displaystyle g(x)}$. Moltiplichiamo e dividiamo (che equivale a moltiplicare per ${\displaystyle 1}$, preservando l'uguaglianza), il secondo membro per ${\displaystyle g(t)-g(x)}$:

${\displaystyle \operatorname {D} [(f\circ g)(x)]=\lim _{t\to x}{\frac {f(g(t))-f(g(x))}{t-x}}{\frac {g(t)-g(x)}{g(t)-g(x)}}.}$

Per le proprietà associativa e commutativa del prodotto otteniamo:

${\displaystyle \operatorname {D} [(f\circ g)(x)]=\lim _{t\to x}{\frac {f(g(t))-f(g(x))}{g(t)-g(x)}}{\frac {g(t)-g(x)}{t-x}}.}$

Poiché per ipotesi ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono derivabili, esistono i limiti dei rapporti incrementali, rispettivamente ${\displaystyle \lim _{a\to b}{f(a)-f(b) \over a-b}=\operatorname {D} [f(b)]}$ e ${\displaystyle \lim _{\alpha \to \beta }{g(\alpha )-g(\beta ) \over \alpha -\beta }=\operatorname {D} [g(\beta )]}$, in qualsiasi punto del dominio; ma per questo, dopo aver applicato nel primo limite del rapporto incrementale la sostituzione ${\displaystyle g(t):=\theta }$, il limite del prodotto di quei rapporti incrementali è uguale al prodotto dei loro limiti presi separati:

${\displaystyle \operatorname {D} [(f\circ g)(x)]=\lim _{\theta \to g(x)}{\frac {f(\theta )-f(g(x))}{\theta -g(x)}}\lim _{t\to x}{\frac {g(t)-g(x)}{t-x}}=f'(g(x))\cdot g'(x)}$

Si considerino due funzioni ${\displaystyle f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ e la funzione composta ${\displaystyle H(x)=g\left(f(x)\right),}$ allora è possibile scrivere i rapporti incrementali delle funzioni in questo modo:

• ${\displaystyle f(x+h)-f(x)=f'(x)h+o_{1}(h);}$
• ${\displaystyle g(y+k)-g(y)=g'(y)k-o_{2}(k);}$
• ${\displaystyle H(x+h)-H(x)=\alpha (x)h-o_{3}(h).}$

A questo punto si passa alla riscrittura di ${\displaystyle H(x+h)-H(x)}$ tenendo conto che ${\displaystyle H(x)=g\left(f(x)\right)}$ quindi si ha:

${\displaystyle H(x+h)-H(x)=g(f(x+h))-g(f(x)).}$

Si ricordi che ${\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+o_{1}(h),}$ quindi si ha:

${\displaystyle H(x+h)-H(x)=g(f(x)+f'(x)h+o_{1}(h))-g(f(x)).}$

Si effettua la sostituzione ${\displaystyle f(x)=y}$ e ${\displaystyle k=f'(x)h+o_{1}(h)}$ e si scrive:

${\displaystyle H(x+h)-H(x)=g(y+k)-g(y)=g'(y)k-o_{2}(k)=g'(f(x))\cdot (f'(x)h+o_{1}(h))-o_{2}(k)=g'(f(x))f'(x)h+g'(f(x))o_{1}(h)-o_{2}(k).}$

Si pone ${\displaystyle \alpha (x)=g'(f(x))f'(x)}$ e inoltre ${\displaystyle o_{3}(h)=g'(f(x))o_{1}(h)-o_{2}(k),}$ così il teorema è dimostrato.

• Nella notazione di Leibniz, questo si riconduce all'identità

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}},}$

poiché ${\displaystyle {\frac {df(g)}{dx}}={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}}$, che è utile per fissare mnemonicamente il risultato (come se il ${\displaystyle dg}$ si "semplificasse" nelle due frazioni), anche se ovviamente non costituisce una dimostrazione.

• Applicando la formula iterativamente si può calcolare la derivata di una composizione di tre o più funzioni. Ad esempio:

${\displaystyle \operatorname {D} [(f\circ g\circ h)(x)]=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x),}$

e così via.

Sia ${\displaystyle f(x)=\log x-3}$, ${\displaystyle g(x)=x^{2}+3x}$, ${\displaystyle h(x)={x \over 2}}$. Allora:

${\displaystyle (f\circ g\circ h)(x)=\log \left[\left({x \over 2}\right)^{2}+3{x \over 2}\right]-3}$

e

${\displaystyle \operatorname {D} [(f\circ g\circ h)(x)]={1 \over ({x \over 2})^{2}+3{x \over 2}}\cdot \left(2{x \over 2}+3\right)\cdot {1 \over 2}.}$

L'estensione della formula al calcolo delle derivate successive si deve a Faà di Bruno. In particolare, se ${\displaystyle f,g}$ possiedono tutte le derivate necessarie, allora risulta:

${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}};}$

${\displaystyle {\frac {d^{3}f}{dx^{3}}}={\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{3}+3{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}.}$

• Regole di derivazione

• (EN) William L. Hosch, chain rule, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Chain Rule, su MathWorld, Wolfram Research.

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