In matematica, la sequenza di Farey
è una sequenza, per ogni numero naturale positivo
, definita come l'insieme ordinato secondo l'ordine crescente di tutti i numeri razionali irriducibili (cioè tali che numeratore e denominatore siano coprimi) espressi sotto forma di frazione con numeratore e denominatore compresi tra zero e
. Ad esempio
![{\displaystyle F_{1}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{1}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4bff877d8f908335a998bf8762a1869c4bc6ec)
![{\displaystyle F_{2}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{2}};{\frac {1}{1}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c593c841cce4d797e2aa5a0e92f30a67d14c6f20)
![{\displaystyle F_{3}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{3}};{\frac {1}{2}};{\frac {2}{3}};{\frac {1}{1}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2224f8210b078c5fbed40f6cbcef46911f115da6)
![{\displaystyle F_{4}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{4}};{\frac {1}{3}};{\frac {1}{2}};{\frac {2}{3}};{\frac {3}{4}};{\frac {1}{1}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3faba25269a6eb712f57bdd239692b8795e19b8b)
![{\displaystyle F_{5}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{5}};{\frac {1}{4}};{\frac {1}{3}};{\frac {2}{5}};{\frac {1}{2}};{\frac {3}{5}};{\frac {2}{3}};{\frac {3}{4}};{\frac {4}{5}};{\frac {1}{1}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17cd44c87eae160946f3fa2609fd56403a6fd2ac)
Per i numeratori, sequenza A006842 dell'OEIS, sequenza A006843 per i denominatori.
Proprietà
- Ciascuna sequenza ha un numero dispari di termini, per ogni
, e il termine centrale è sempre
.
- Ciascuna sequenza è "simmetrica" rispetto al termine centrale
: per ogni termine
della sequenza ne esiste anche uno pari a ![{\displaystyle {\frac {d-n}{d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e85847314270053c7f8db8122baf7bb858f667)
- Dati due termini consecutivi di una sequenza
abbiamo che
![{\displaystyle p_{i+1}\cdot q_{i}-p_{i}\cdot q_{i+1}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/564f3ea8f46a4fef52cc40e1d617e42abe6d1f5a)
- Dati tre termini consecutivi di una sequenza
abbiamo che
![{\displaystyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}={\frac {(p_{i-1}+p_{i+1})}{(q_{i-1}+q_{i+1})}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49b01eac47e5e305d2fde0b18e13d98d62577452)
- Di conseguenza, data la successione
, il primo termine a comparire tra due generici
e
in una sequenza
, con
, è la frazione mediana ![{\displaystyle {\frac {a+b}{c+d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89ad92ea51efef06679af6950b3043c6767f04fa)
- Definito come
il numero di termini della sequenza di Farey
, abbiamo che
![{\displaystyle N(n)=1+\sum _{k=1}^{n}\phi (k)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffeae63e051f762c6c63bbec6bd6de6f86b4d9ca)
Dove
è la funzione phi di Eulero.
Voci correlate
- John Farey
- Frazione (matematica)
Altri progetti
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Sequenza di Farey
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Sequenza di Farey, su MathWorld, Wolfram Research.
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