Spazio botte

In matematica, in particolare in analisi funzionale, uno spazio botte (in inglese barrelled space) è uno spazio vettoriale topologico localmente convesso $E$ che condivide diverse caratteristiche degli spazi di Fréchet. Gli spazi botte, introdotti dal gruppo di matematici Nicolas Bourbaki, sono studiati soprattutto perché per essi è valida una forma del principio dell'uniforme limitatezza.

Un insieme $A\subset E$ è detto bilanciato se:

\alpha x\in A\qquad \forall x\in A\quad \forall |\alpha |<1

L'insieme bilanciato $A$ è detto assorbente se esiste $\alpha >0$ tale che:

\alpha x\in A\qquad \forall x\in E

Un insieme botte è un insieme convesso, bilanciato, assorbente e chiuso.

Uno spazio botte è uno spazio vettoriale topologico con una topologia localmente convessa tale per cui ogni insieme botte è un intorno del vettore nullo.

Esempi

In uno spazio vettoriale semi-normato la sfera unitaria chiusa è un insieme botte.
Ogni spazio vettoriale topologico localmente convesso ha una base di intorni costituita da insiemi botte.
Gli spazi di Fréchet, in particolare gli spazi di Banach, sono spazi botte. In generale, tuttavia, gli spazi normati non sono spazi botte.
Gli spazi di Montel sono spazi botte.
Gli spazi localmente convessi che sono spazi di Baire sono spazi botte.
Gli spazi separati e gli spazi completi sono spazi botte.

Bibliografia

(FR) Nicolas Bourbaki, Sur certains espaces vectoriels topologiques, in Annales de l'Institut Fourier, vol. 2, 1950, pp. 5–16 (1951), MR 0042609.
Alex P. Robertson e Wendy J. Robertson, Topological vector spaces, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 53, Cambridge University Press, 1964, pp. 65–75.
Helmut H. Schaefer, Topological vector spaces, GTM, vol. 3, New York, Springer-Verlag, 1971, p. 60, ISBN 0-387-98726-6.