Disambiguazione – Se stai cercando il concetto della modellistica del clima, vedi Parametrizzazione (clima). Questa voce o sezione sull'argomento matematica non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti.
Una parametrizzazione è un'applicazione, più nello specifico una funzione vettoriale,
infinitamente differenziabile in
aperto e connesso. Per
e
l'immagine di questa applicazione è una superficie parametrizzata.
Una superficie parametrica è una superficie differenziabile rappresentata in un sistema di coordinate parametrico del tipo:
![{\displaystyle 1)\ \Sigma :{\begin{cases}x=\phi (u,v)\\y=\psi (u,v)\\z=\chi (u,v).\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ed492af8ea75dabf9c131355fa5dafaba8a33b0)
Una superficie si dice regolare se soddisfa le seguenti proprietà:
, cioè devono essere funzioni continue con derivata continua in un insieme aperto
. - La matrice Jacobiana
, abbia rango uguale a due, cioè le derivate non si annullino mai in uno stesso punto. Questa proprietà equivale a che la somma dei quadrati dei minori di ordine due sia positiva. - La corrispondenza tra
e
sia iniettiva.
Linee coordinate
Una superficie è un oggetto bidimensionale che vive nello spazio tridimensionale, per questo motivo i punti della superficie sono identificati da tre variabili: al variare dei punti
nel dominio
si trovano i punti dello spazio
. Le variabili
sono dette parametri coordinati.
Se sul dominio
si considera un punto
, per esso passeranno due curve:
. In corrispondenza a questo punto sulla superficie vi sarà un punto:
![{\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})=(x(u_{0},v_{0}),y(u_{0},v_{0}),z(u_{0},v_{0})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/381f206809b3dad3354163e2b7127a65b73c5edc)
Cioè:
![{\displaystyle 2)\ {\begin{cases}x=\phi (u_{0},v_{0})\\y=\psi (u_{0},v_{0})\\z=\chi (u_{0},v_{0}).\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb01ae5f33e6806e9e8ea8fde883fdf58f72044)
Pensiamo allora di ricavare le tangenti e le normali in questo punto. Fissiamo prima un valore dei parametri coordinati e poi l'altro, otterremo una famiglia di curve, che si chiamano linee coordinate (che possono essere anche ortogonali):
![{\displaystyle 3)\ {\begin{cases}\phi (u,v_{0}),\psi (u,v_{0}),\chi (u,v_{0})\\\phi (u_{0},v),\psi (u_{0},v),\chi (u_{0},v).\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98cbe56a25ea6adb69154a42cdac9fcc2e73d5a9)
Da queste possiamo ricavare i vettori tangenti derivando:
![{\displaystyle 4)\ {\begin{cases}{\vec {T}}_{u}=\{\phi _{u}(u,v_{0}),\psi _{u}(u,v_{0}),\chi _{u}(u,v_{0})\}\\{\vec {T}}_{v}=\{\phi _{v}(u_{0},v),\psi _{v}(u_{0},v),\chi _{v}(u_{0},v)\}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/566144a937935da8f7ec576b2d0ac4ab85ecd888)
e i vettori normali:
![{\displaystyle 5)\ {\vec {n}}=\pm {\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87b72653176ec2e4d071d0ad60c18eb650f7e3a)
I versori normali sono dati:
![{\displaystyle 6)\ {\hat {n}}=\pm {\frac {{\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v}}{\sqrt {({\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v})^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcf23efb1f66e7b736f1e3e2f2cf43e9bdc35710)
Piano tangente
Una superficie regolare parametrica ammette sempre piano tangente in un punto
dato dalla:
![{\displaystyle 7)\ {\begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\\\phi _{u}(u_{0},v_{0})&\psi _{u}(u_{0},v_{0})&\chi _{u}(u_{0},v_{0})\\\phi _{v}(u_{0},v_{0})&\psi _{v}(u_{0},v_{0})&\chi _{v}(u_{0},v_{0})\end{vmatrix}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/307741474825dd64593c7ce9e7c1129fc06b5249)
Il piano tangente ad una superficie parametrica è un sottospazio vettoriale di dimensione 2. Questo piano, ha la proprietà di contenere i vettori tangenti a tutte le curve situate sulla superficie e passanti per il punto considerato.
L'ipotesi di regolarità della superficie parametrica, implica l'esistenza di un piano tangente in ogni punto della superficie. Si parla di piano tangente in
a
, altrimenti denotato con
.
Il piano tangente è indipendente dalla parametrizzazione usata.
A questo punto possiamo considerare il problema di come si rappresentano le curve tracciate sulla superficie
, cioè alle proprietà metriche della superficie e fondamentale il calcolo di area di una superficie. Per fare questo prendiamo il vettore tangente del piano
, nel punto
:
. A questo vettore corrisponde un vettore tangente sulla superficie
:
![{\displaystyle u'(t_{0})\cdot T_{u}+v'(t_{0})\cdot T_{v}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4206d7c5cd4f04a56588d88364c29325d893f14)
Come si modifica la lunghezza di questo vettore sulla superficie? Costruiamo il differenziale del vettore:
![{\displaystyle 8)\ ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=\left({\frac {\partial x}{\partial u}}du+{\frac {\partial x}{\partial v}}dv\right)^{2}+\left({\frac {\partial y}{\partial u}}du+{\frac {\partial y}{\partial v}}dv\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial u}}du+{\frac {\partial z}{\partial v}}dv\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58cbf6d4e207f56271f30ffe4a717a6229e13f3d)
Ora dobbiamo eseguire i quadrati con la sostituzione:
e così via per tutte le derivate, otteniamo la prima forma differenziale di Gauss:
![{\displaystyle 9)\ ds^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233a9e2ab6523cee42a3c087c4c8cc85e12b0b65)
dove:
Allo stesso risultato potevamo arrivare prendendo il prodotto scalare:
.
Si chiama prima forma fondamentale, e si indica con
, la restrizione del prodotto scalare di
su
. Allora la lunghezza di un segmento sulla superficie è:
![{\displaystyle 11)\ \mathrm {Lung} ((x(u(t_{1}),v(t_{1})),y(u(t_{1}),v(t_{1})),z(u(t_{1}),v(t_{1}))),(x(u(t_{2}),v(t_{2})),y(u(t_{2}),v(t_{2})),z(u(t_{2}),v(t_{2}))))=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {Eu'^{2}+2Fu'v'+Gv'^{2}}}\ dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5194598a8515e492b6ed31678624b95cdd92491d)
Ora ci chiediamo come si trasforma un elemento di superficie
:
Quadrando la 12), otteniamo proprio le 10). Dunque l'elemento di superficie si trasforma:
![{\displaystyle 13)\ dS={\sqrt {EG-F^{2}}}\ dudv,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd56ad97ed416d1967dc8aaeb89555a8a27c7970)
dove
è la prima forma quadratica di Gauss o prima forma differenziale di Gauss.
Da questa è possibile calcolare l'area di una superficie:
![{\displaystyle Area(\Sigma )=\iint _{A}dS=\iint _{A}{\sqrt {EG-F^{2}}}\ dudv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c9fdf555e672a3dfaa96ec3a0cd88e4739c5dd)
e anche un qualsiasi integrale di superficie:
![{\displaystyle I=\iint _{A}f(x,y,z)dS=\iint _{A}F(x(u,v),y(u,v),z(u,v)){\sqrt {EG-F^{2}}}\ dudv.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6583aeb6bb9df7af4dd7786f7c2cd0e56f03ad84)
Da queste due ultime osservazioni circa il calcolo degli integrali, si vede che la prima forma differenziale di Gauss è un determinante:
![{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}=EG-F^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7913caa34221f36644a2307396be69f77201f802)
e poiché i coefficienti non sono altro che i coefficienti di una metrica sulla superficie allora questa matrice è un tensore metrico.
La seconda forma quadratica è una proprietà intrinseca della superficie, e rappresenta le proprietà di curvatura della stessa. Essa può essere ricavata direttamente dalla prima forma differenziale di Gauss e dai vettori tangente e normale.
Sia dunque
il versore normale ottenibile dal vettore normale:
![{\displaystyle {\vec {n}}=\pm {\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v}\Longrightarrow {\hat {n}}=\pm {\frac {{\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v}}{\sqrt {({\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v})^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2996afc5b96aac1efa7f4a5443c6ee4fd4a15b7b)
Dalla prima forma differenziale di Gauss:
![{\displaystyle {\hat {n}}=\pm {\frac {{\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cdb0f773c1bbf7b9ba62ef7cc95a183c5493fbe)
Allora i coefficienti della seconda forma differenziale di Gauss:
![{\displaystyle {\vec {T}}_{uu}\cdot {\hat {n}}=L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05e7a27c481fac5581ee83a60f56d1c7b8297da)
![{\displaystyle {\vec {T}}_{uv}\cdot {\hat {n}}=M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53936425a87f2bb6b822baa3898ff0ad6725511b)
![{\displaystyle {\vec {T}}_{vv}\cdot {\hat {n}}=N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9708b9c0e3403a5c7fad3d9518e88980d8745d6)
Da cui otteniamo la seconda forma differenziale (o quadratica) di Gauss:
![{\displaystyle II_{G}=L(du)^{2}+2Mdudv+N(dv)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ab9d8d40e8120e3aadceb17734cebd37fedc31)
Dunque li possiamo esplicitare:
![{\displaystyle L={\frac {\begin{vmatrix}x_{uu}&x_{u}&x_{v}\\y_{uu}&y_{u}&y_{v}\\z_{uu}&z_{u}&z_{v}\end{vmatrix}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e908a6172833fe1ec0cc1414055db9349688b1a8)
![{\displaystyle M={\frac {\begin{vmatrix}x_{uv}&x_{u}&x_{v}\\y_{uv}&y_{u}&y_{v}\\z_{uv}&z_{u}&z_{v}\end{vmatrix}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48811b8064a1a00c362969f3f63c0b8b37487ba4)
![{\displaystyle N={\frac {\begin{vmatrix}x_{vv}&x_{u}&x_{v}\\y_{vv}&y_{u}&y_{v}\\z_{vv}&z_{u}&z_{v}\end{vmatrix}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb8db8dd4ddba3f9c939be385ec87df9f63acb5)
Curvature normali
Si chiama curvatura normale della superficie
in un punto
nella direzione della linea
e della linea
rispettivamente, la funzione:
![{\displaystyle k(P,u)=I\!I_{G}\left({\frac {u}{\|u\|}},{\frac {u}{\|u\|}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92909f291b57b37150ce99099296917c1205e71c)
![{\displaystyle k(P,v)=I\!I_{G}\left({\frac {v}{\|v\|}},{\frac {v}{\|v\|}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2ad1f9e97057eb7b453fb2c44c7ae1b49627d2)
Curvature principali e curvatura di Gauss
Lo stesso argomento in dettaglio: Operatore di Weingarten. Sono dette curvature principali i due valori, massimo e minimo, della curvatura normale corrispondenti ai due versi del piano tangente (a seguito dei due versori normali). Indicando con
le curvature principali di una superficie in un punto
, allora si chiama curvatura Gaussiana o curvatura totale:
![{\displaystyle K(P)=k_{1}(P)\ k_{2}(P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a37710e5a59ba3dddec3f959d669fccaff7002)
e definiamo anche la curvatura media:
![{\displaystyle H(P)={\frac {k_{1}(P)+k_{2}(P)}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d62cc19b8348a400c3e4ae2b5d85ddb96b2913)
Per quanto riguarda la curvatura di Gauss, è in generale difficile trovare le due direzioni secondo le quali le curvature principali sono valori massimi e minimi. Il criterio è fornito dall'utilizzo dell'operatore di Weingarten.
Conseguenze
Dalle forme differenziali di Gauss possiamo ricavare molte informazioni riguardo alle caratteristiche geometriche delle superfici parametriche:
- La curvatura delle curve sulla superficie segue dal teorema di Meusnier e dall'operatore di Weingarten.
- La curvatura della superficie segue dal theorema egregium di Gauss.
- Teorema di Dupin.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Superficie parametrica, su MathWorld, Wolfram Research.
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