Teorema di Sharkovsky

In matematica e fisica, il teorema di Sharkovsky è un risultato di estrema importanza nello studio delle orbite periodiche di un sistema dinamico discreto. Il teorema afferma che se si ha un sistema dinamico in cui la funzione di iterazione ${\displaystyle f}$ è una funzione continua avente dominio e immagine in un intervallo reale ${\displaystyle I}$, allora se il sistema ammette un'orbita di periodo ${\displaystyle s}$ esso ammette anche orbite di periodo ${\displaystyle k}$ se ${\displaystyle k}$ precede ${\displaystyle s}$ in un particolare ordinamento detto ordinamento di Sharkovsky.

Dato un intervallo ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$, sia ${\displaystyle f:I\to I}$ una funzione continua. Il numero ${\displaystyle x}$ è un punto periodico di periodo ${\displaystyle m}$ se ${\displaystyle f^{m}(x)=x}$, dove ${\displaystyle f^{m}}$ è la composizione di ${\displaystyle m}$ copie di ${\displaystyle f}$. Si tratta di un punto periodico avente periodo primitivo ${\displaystyle m}$ se, inoltre, ${\displaystyle f^{k}(x)\neq x}$ per tutti gli ${\displaystyle 0<k<m}$.

Per conoscere i possibili periodi dei punti periodici di ${\displaystyle f}$, si consideri il seguente ordinamento di numeri naturali, detto ordinamento di Sharkovsky:

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}3&5&7&9&11&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{0}&\ldots \\3\cdot 2&5\cdot 2&7\cdot 2&9\cdot 2&11\cdot 2&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{1}&\ldots \\3\cdot 2^{2}&5\cdot 2^{2}&7\cdot 2^{2}&9\cdot 2^{2}&11\cdot 2^{2}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{2}&\ldots \\3\cdot 2^{3}&5\cdot 2^{3}&7\cdot 2^{3}&9\cdot 2^{3}&11\cdot 2^{3}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{3}&\ldots \\&\vdots \\\ldots &2^{n}&\ldots &2^{4}&2^{3}&2^{2}&2&1\end{array}}}$

dove ogni numero naturale compare una e una sola volta all'interno dell'ordinamento di Sharkovsky, dunque è un ordinamento totale sui numeri naturali.

Il teorema di Sharkovsky stabilisce che se ${\displaystyle f}$ ha punto periodico di periodo primitivo ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle m}$ precede ${\displaystyle n}$ nell'ordinamento di Sharkovsky, allora ${\displaystyle f}$ possiede anche un punto periodico con periodo primitivo ${\displaystyle n}$.

In particolare, se non esiste un'orbita 8-periodica allora non può esistere nessuna orbita all'infuori di quella 2-periodica e di quella 4-periodica. E se non esistono orbite 2-periodiche, non vi saranno orbite di alcun periodo. L'esistenza di un'orbita di periodo 3 garantisce invece la presenza di orbite di ogni periodo. Il comportamento di un sistema dinamico in cui sia presente l'orbita 3-periodica è dunque particolarmente studiato.

Si consideri un caso particolare in cui esiste l'orbita 3-periodica; si vuole dimostrare che esistono orbite di ogni periodo. Siano dunque ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ i tre punti dell'orbita e si supponga che ${\displaystyle f(a)=b}$, ${\displaystyle f(b)=c}$ e ${\displaystyle f(c)=a}$. Si utilizzano due lemmi di carattere generale sulle funzioni continue:

• Teorema del punto fisso di Brouwer: sia ${\displaystyle f}$ una funzione continua. Se esiste un intervallo ${\displaystyle I}$ tale che ${\displaystyle f(I)}$ contenga ${\displaystyle I}$, allora esiste almeno un punto fisso in ${\displaystyle I}$, cioè esiste almeno un ${\displaystyle p}$ appartenente a ${\displaystyle I}$ tale che ${\displaystyle f(p)=p}$.
• Sia ${\displaystyle f}$ una funzione continua. Se esistono due intervalli ${\displaystyle U}$ e ${\displaystyle V}$ tali che ${\displaystyle f(U)}$ contenga ${\displaystyle V}$, allora esiste un intervallo ${\displaystyle U_{0}}$ contenuto in ${\displaystyle U}$ tale che ${\displaystyle f(U_{0})=V}$.

Per dimostrare l'esistenza di un'orbita 1-periodica, cioè un punto fisso, sia ${\displaystyle I_{0}}$ l'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ e ${\displaystyle I_{1}}$ l'intervallo ${\displaystyle [b,c]}$. Poiché ${\displaystyle f(b)=c}$ e ${\displaystyle f(c)=a}$, per il teorema dei valori intermedi ${\displaystyle f(I_{1})}$ contiene ${\displaystyle [a,c]}$ e dunque contiene ${\displaystyle I_{1}}$. Ma allora per il primo lemma esiste sicuramente un punto fisso per ${\displaystyle f}$ all'interno di ${\displaystyle I_{1}}$.

Sia dunque ${\displaystyle n>1}$ e ${\displaystyle n\neq 3}$. Si vuole dimostrare l'esistenza di un'orbita di minimo periodo ${\displaystyle n}$. Per fare questo si costruisce una famiglia di intervalli ${\displaystyle J_{n}}$ tale che:

1. ${\displaystyle I_{1}=J_{0}\supset J_{1}\supset J_{2}\cdots \supset J_{n}}$
2. ${\displaystyle f(J_{k})=J_{k-1}\quad k=1,\ldots ,n-2}$
3. ${\displaystyle f^{k}(J_{k})=I_{1}}$
4. ${\displaystyle f^{n-1}(J_{n-1})=I_{0}}$
5. ${\displaystyle f^{n}(J_{n})=I_{1}}$

Prima di dimostrare che gli intervalli ${\displaystyle J_{n}}$ esistono, si nota come essi possono aiutare a dimostrare l'esistenza dell'orbita n-periodica: la (5) implica che ${\displaystyle f(J_{n})}$ contiene ${\displaystyle J_{n}}$ e dunque, per il primo lemma, esiste un punto fisso ${\displaystyle p}$ per l'iterata n-esima che per costruzione sta in ${\displaystyle I_{1}}$. Questo però non è detto che appartenga ad un'orbita di minimo periodo ${\displaystyle n}$ (a meno che ${\displaystyle n}$ non sia primo), poiché se ${\displaystyle n}$ è pari, ogni punto di un'orbita 2-periodica, appartiene anche all'orbita n-periodica.

Si nota che ${\displaystyle p}$ non può coincidere con ${\displaystyle c}$; infatti se così fosse, poiché ${\displaystyle f(p)=f(c)=a}$ e dato che l'unica iterata che consente di uscire dall'intervallo ${\displaystyle I_{1}}$ è la (n-1)-esima, si avrebbe che ${\displaystyle n=2}$, contraddicendo l'ipotesi che ${\displaystyle c}$ faccia parte dell'orbita 3-periodica. Ma ${\displaystyle p}$ non può nemmeno essere uguale a ${\displaystyle b}$, poiché ${\displaystyle f^{2}(p)=f^{2}(b)=a}$ implicherebbe, per lo stesso motivo di prima, ${\displaystyle n=3}$, ma per ipotesi abbiamo deciso di considerare ${\displaystyle n}$ diverso da 3. Dunque ${\displaystyle p}$ appartiene all'intervallo aperto ${\displaystyle (b,c)}$. Ma poiché ${\displaystyle f^{n-1}(p)}$ appartiene a ${\displaystyle I_{0}}$, si ha che ${\displaystyle p}$ è diverso da ${\displaystyle f^{n-1}(p)}$, poiché appartengono a due intervalli disgiunti. Ne segue che ${\displaystyle p}$ non può appartenere ad un'orbita (n-1)-periodica. Se poi il periodo fosse strettamente minore di n-1, la (3) implicherebbe che l'orbita deve rimanere sempre all'interno di ${\displaystyle I_{1}}$, ma la (4) mostra che questo è impossibile. Dunque il minimo periodo dell'orbita cui ${\displaystyle p}$ appartiene è ${\displaystyle n}$.

Rimane da dimostrare l'esistenza degli intervalli ${\displaystyle J_{k}}$. Per costruirli si pone ${\displaystyle J_{0}=I_{1}}$; perciò ${\displaystyle f(J_{0})}$ contiene ${\displaystyle I}$ che contiene ${\displaystyle J_{0}}$ e per il secondo lemma esiste dunque un intervallo ${\displaystyle J_{1}}$ contenuto in ${\displaystyle J_{0}}$ tale che ${\displaystyle f(J_{1})=J_{0}}$. Ma il fatto che ${\displaystyle f(J_{1})=J_{0}}$ e che ${\displaystyle J_{0}}$ contiene ${\displaystyle J_{1}}$ implicano l'esistenza di un intervallo ${\displaystyle J_{2}}$ contenuto in ${\displaystyle J_{1}}$ tale che ${\displaystyle f(J_{2})=J_{1}}$, e così via fino a ${\displaystyle J_{n-1}}$. In questo modo la (1) e la (2) sono verificate. Per la (3) si osserva che:

${\displaystyle f^{k}(J_{k})=f^{k-1}(f(J_{k}))=f^{k-1}(J_{k-1})}$

e a cascata si giunge a ${\displaystyle f^{k}(J_{k})=J_{0}=I_{1}}$. Per la (4) si osserva che:

${\displaystyle f^{n-1}(J_{n-2})=f(f^{n-2}(J_{n-2}))=f(I_{1})=I}$

che contiene ${\displaystyle I_{0}}$; dunque, per il secondo lemma, esiste un intervallo ${\displaystyle J_{n-1}}$ contenuto in ${\displaystyle J_{n-2}}$ tale che:

${\displaystyle f^{n-1}(J_{n-1})=I_{0}}$

Similmente per la (5), poiché:

${\displaystyle f^{n}{J_{n-1}}=f(f^{n-1}(J_{n-1}))=f(I_{0})}$

che contiene ${\displaystyle I_{1}}$, si deduce, sempre grazie al secondo lemma, che esiste un intervallo ${\displaystyle J_{n}}$ tale che ${\displaystyle f^{n}(J_{n})=I_{1}}$.

• (EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Providence, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.
• (EN) Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.
• (EN) Conway, J. H. and Guy, R. K. "Periodic Points." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 207-208, 1996.
• (EN) Devaney, R. L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989.
• (EN) Elaydi, S. "On a Converse of Sharkovsky's Theorem." Amer. Math. Monthly 103, 386-392, 1996.

• Orbita (matematica)
• Punto periodico
• Sistema dinamico
• Teorema del punto fisso di Brouwer

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Sharkovsky, su MathWorld, Wolfram Research.

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