Teorema di continuità di Lévy
In teoria della probabilità, il teorema di continuità di Lévy (o teorema di convergenza di Lévy[1]), dal matematico francese Paul Lévy, lega la convergenza in distribuzione di una successione di variabili casuali con la convergenza puntuale delle loro funzioni caratteristiche. Questo teorema è alla base di un approccio per provare il teorema centrale del limite ed è uno dei più importanti teoremi sulle funzioni caratteristiche.
Teorema
Supponiamo di avere
- una successione di variabili casuali , non aventi necessariamente lo stesso spazio di probabilità,
- la successione delle corrispondenti funzioni caratteristiche , che per definizione sono
dove è l'operatore valore atteso.
Se la successione delle funzioni caratteristiche converge puntualmente a una qualche funzione
allora sono equivalenti:
- cioè la successione delle distribuzioni cumulative delle variabili casuali converge in ogni punto di continuità;
- è tight, cioè
- è la funzione caratteristica di una qualche variabile casuale X;
- è una funzione continua in t;
- è continua in t = 0.
Dimostrazione
Dimostrazioni rigorose di questo teorema si possono trovare in .[1][2]
Note
Bibliografia
- D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6.
- Fristedt, B. E.; Gray, L. F. (1996): A modern approach to probability theory, Birkhäuser Boston, ISBN 0-8176-3807-5.
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