Teorema di continuità di Lévy

In teoria della probabilità, il teorema di continuità di Lévy (o teorema di convergenza di Lévy^[1]), dal matematico francese Paul Lévy, lega la convergenza in distribuzione di una successione di variabili casuali con la convergenza puntuale delle loro funzioni caratteristiche. Questo teorema è alla base di un approccio per provare il teorema centrale del limite ed è uno dei più importanti teoremi sulle funzioni caratteristiche.

Supponiamo di avere

• una successione di variabili casuali ${\displaystyle \scriptstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, non aventi necessariamente lo stesso spazio di probabilità,
• la successione delle corrispondenti funzioni caratteristiche ${\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, che per definizione sono

${\displaystyle \varphi _{n}(t)=\operatorname {E} \,e^{itX_{n}}\quad \forall t\in \mathbb {R} ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,}$

dove ${\displaystyle \operatorname {E} }$ è l'operatore valore atteso.

Se la successione delle funzioni caratteristiche converge puntualmente a una qualche funzione ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\quad \forall t\in \mathbb {R} ,}$

allora sono equivalenti:

• ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\mathcal {D}}}\ X,}$ cioè la successione delle distribuzioni cumulative delle variabili casuali converge in ogni punto di continuità;
• ${\displaystyle \scriptstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ è tight, cioè ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(\sup _{n}\operatorname {P} {\big [}\,|X_{n}|>x\,{\big ]}\right)=0;}$
• ${\displaystyle \varphi (t)}$ è la funzione caratteristica di una qualche variabile casuale X;
• ${\displaystyle \varphi (t)}$ è una funzione continua in t;
• ${\displaystyle \varphi (t)}$ è continua in t = 0.

Dimostrazioni rigorose di questo teorema si possono trovare in .^[1][2]

• D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6.
• Fristedt, B. E.; Gray, L. F. (1996): A modern approach to probability theory, Birkhäuser Boston, ISBN 0-8176-3807-5.

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