Trasformata di Hankel

In matematica, la trasformata di Hankel è una trasformata integrale, per la prima volta sviluppata dal matematico Hermann Hankel, che esprime una data funzione ${\displaystyle f(r)}$ come una somma pesata di un numero infinito di funzioni di Bessel del primo tipo ${\displaystyle J_{\nu }(kr)}$. È anche conosciuta come la trasformata di Fourier–Bessel. Le funzioni di Bessel del nucleo integrale sono tutte dello stesso ordine ${\displaystyle \nu }$, ma differiscono nel fattore di scala ${\displaystyle k}$ lungo l'asse ${\displaystyle r}$. Il coefficiente ${\displaystyle F_{\nu }}$ di ogni funzione di Bessel, visto come una funzione del fattore di scala ${\displaystyle k}$, costituisce la trasformata di Hankel. La trasformata di Hankel è strettamente collegata con la serie di Fourier-Bessel, nello stesso modo in cui la trasformata di Fourier per un intervallo infinito è in relazione con la serie di Fourier su un intervallo finito.

La trasformata di Hankel di ordine ${\displaystyle \nu }$ di una funzione ${\displaystyle f(r)}$ è data da

${\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,\mathrm {d} r,}$

dove ${\displaystyle J_{\nu }}$ è la funzione di Bessel del primo tipo di ordine ${\displaystyle \nu }$, con ${\displaystyle \nu \geq -1/2}$. La trasformata di Hankel inversa di ${\displaystyle F_{\nu }(k)}$ è definita come

${\displaystyle f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,k\,\mathrm {d} k,}$

che può essere verificata sfruttando la relazione di ortogonalità fra le funzioni di Bessel.

L'inversione della trasformata di Hankel di una funzione ${\displaystyle f(r)}$ è valida in tutti i punti in cui ${\displaystyle f(r)}$ è continua, a patto che sia definita e continua a tratti in ${\displaystyle (0,\infty )}$, a variazione limitata in ogni sottointervallo finito di ${\displaystyle (0,\infty )}$ e

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} r<\infty .}$

Tuttavia, in analogia con la trasformata di Fourier, si può estendere il dominio tramite un ragionamento sulla densità, includendo alcune funzioni per cui l'integrale precedente non è finito, come ${\displaystyle f(r)=(1+r)^{-3/2}}$.

Una definizione alternativa afferma che la trasformata di Hankel di ${\displaystyle g(r)}$ è ^[1]

${\displaystyle h_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }g(r)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} r.}$

Le due definizioni sono collegate:

Se ${\displaystyle g(r)=f(r){\sqrt {r}}}$, allora ${\displaystyle h_{\nu }(k)=F_{\nu }(k){\sqrt {k}}.}$

Questo significa che, come per la precedente definizione, la trasformata di Hankel definita in questo modo è la sua stessa inversa:

${\displaystyle g(r)=\int _{0}^{\infty }h_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} k.}$

Il dominio ora ha la condizione

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|g(r)|\,\mathrm {d} r<\infty ,}$

ma può essere esteso. Secondo de Branges, si può prendere l'integrale come il limite con l'estremo superiore che tende all'infinito (un integrale improprio invece di un integrale di Lebesgue), e in questo modo la trasformata di Hankel e la sua inversa sono definite per ogni funzione in L²(0, ∞).

Le funzioni di Bessel formano una base ortogonale se pesate con la funzione ${\displaystyle r}$:^[2]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)\,r\,\mathrm {d} r={\frac {\delta (k-k')}{k}},\quad k,k'>0.}$

Se le funzioni ${\displaystyle f(r)}$ e ${\displaystyle g(r)}$ possiedono trasformate di Hankel ${\displaystyle F_{\nu }(k)}$ e ${\displaystyle G_{\nu }(k)}$ ben definite, allora il teorema di Plancherel afferma che

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(r)g(r)\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)\,k\,\mathrm {d} k.}$

Il teorema di Parseval, che afferma

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}\,k\,\mathrm {d} k,}$

è un caso speciale del teorema di Plancherel. Questi teoremi si possono dimostrare utilizzando la proprietà di ortogonalità.

La trasformata di Hankel di ordine zero è essenzialmente la trasformata di Fourier in 2 dimensioni di una funzione a simmetria circolare.

Si consideri una funzione bidimensionale ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ del raggio vettore ${\displaystyle r}$. La sua trasformata di Fourier è

${\displaystyle F(\mathbf {k} )={\frac {1}{2\pi }}\iint f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} \mathbf {r} .}$

Senza perdita di generalità, si può scegliere un sistema di coordinate polari ${\displaystyle (r,\theta )}$ in modo che il vettore ${\displaystyle \mathbf {k} }$ giaccia sull'asse ${\displaystyle \theta =0}$ (nel K-spazio). La trasformata di Fourier si scrive ora in queste coordinate come

${\displaystyle F(\mathbf {k} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{r=0}^{\infty }\int _{\theta =0}^{2\pi }f(r,\theta )e^{-ikr\cos(\theta )}\,r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r,}$

dove ${\displaystyle \theta }$ è l'angolo tra i vettori ${\displaystyle \mathbf {k} }$ e ${\displaystyle \mathbf {r} }$. Se la funzione ${\displaystyle f}$ è a simmetria circolare, non ha nessuna dipendenza dalla variabile angolare ${\displaystyle \theta }$ e può essere scritta come ${\displaystyle f(r)}$. Si può così portare fuori dall'integrazione su ${\displaystyle \theta }$, e in questo caso la trasformata di Fourier diventa

${\displaystyle F(\mathbf {k} )=F(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{0}(kr)\,r\,\mathrm {d} r,}$

che è esattamente la trasformata di Hankel di ordine zero di ${\displaystyle f(r)}$. Analogamente per la trasformata inversa,

${\displaystyle f(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi }}\iint F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} \mathbf {k} =\int _{0}^{\infty }F(k)J_{0}(kr)\,k\,\mathrm {d} k,}$

quindi ${\displaystyle f(r)}$ è la trasformata di Hankel di ordine zero di ${\displaystyle F(k)}$.

Per una trasformata Fourier n-dimensionale,

${\displaystyle F(\mathbf {k} )={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d^{n}\mathbf {r} ,}$

Se la funzione ${\displaystyle f}$ è a simmetria radiale, allora^[3]

${\displaystyle k^{\frac {n-2}{2}}F(k)=\int _{0}^{\infty }r^{\frac {n-2}{2}}f(r)J_{\frac {n-2}{2}}(kr)\,r\,dr.}$

Per generalizzare, se ${\displaystyle f}$ può essere espansa in una serie di multipoli,

${\displaystyle f(r,\theta )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f_{m}(r)e^{im\theta },}$

e se ${\displaystyle \theta _{k}}$ è l'angolo tra la direzione di ${\displaystyle \mathbf {k} }$ e l'asse ${\displaystyle \theta =0}$, allora

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\mathbf {k} )&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }r\,\mathrm {d} r\,\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \,f(r,\theta )e^{-ikr\cos(\theta -\theta _{k})}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{m}\int _{0}^{\infty }r\,\mathrm {d} r\,\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \,f_{m}(r)e^{im\theta }e^{-ikr\cos(\theta -\theta _{k})}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }r\,\mathrm {d} r\,f_{m}(r)\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi \,e^{im\varphi }e^{-ikr\cos \varphi }&&(\varphi =\theta -\theta _{k})\\&=\sum _{m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }r\,\mathrm {d} r\,f_{m}(r)i^{-m}J_{m}(kr)\\&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }f_{m}(r)J_{m}(kr)\,r\,\mathrm {d} r\\&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}F_{m}(k),\end{aligned}}}$

dove ${\displaystyle F_{m}(k)}$ è la trasformata di Hankel di ordine ${\displaystyle m}$ di ${\displaystyle f_{m}(r)}$.

Inoltre, se ${\displaystyle f_{m}}$ è sufficientemente liscia vicino all'origine e è zero fuori da una palla di raggio ${\displaystyle R}$, allora può essere espansa nella serie di Čebyšëv:

${\displaystyle f_{m}(r)=r^{m}\sum _{t\geq 0}f_{mt}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t},\quad 0\leq r\leq R.}$

Sostituendola nell'ultima equazione della sezione precedente si ottiene

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\mathbf {k} )&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}\sum _{t}f_{mt}\int _{0}^{R}r^{m}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t}J_{m}(kr)r\,\mathrm {d} r&&\\&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{mt}\int _{0}^{1}x^{m+1}(1-x^{2})^{t}J_{m}(kxR)\,\mathrm {d} x&&(x={\tfrac {r}{R}})\\&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{mt}{\frac {t!2^{t}}{(kR)^{1+t}}}J_{m+t+1}(kR),\end{aligned}}}$

dove l'ultima uguaglianza segue da §6.567.1 di ^[4]. Questo è un caso molto più generale di quello trattato nella precedente sezione. L'aspetto numerico importante è che i coefficienti ${\displaystyle f_{mt}}$ si possono ricavare con le tecniche della trasformata di Fourier discreta.

Questo è un assaggio della trasformata di Hankel veloce.

In due dimensioni, se si definisce ${\displaystyle A}$ come l'operatore della trasformata di Abel, ${\displaystyle F}$ come l'operatore della trasformata di Fourier, e ${\displaystyle H}$ come la trasformata di Hankel di ordine zero, allora il caso particolare del teorema di proiezione-taglio per le funzioni a simmetria circolare afferma che

${\displaystyle FA=H.}$

In altre parole, applicare la trasformata di Abel a una funzione in una dimensione e farne successivamente la trasformata di Fourier è equivalente a applicare la trasformata di Hankel alla funzione. Questo concetto si può estendere a tutte le dimensioni.

^[5]

${\displaystyle f(r)}$	${\displaystyle F_{0}(k)}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\delta (k)}{k}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$
${\displaystyle r}$	${\displaystyle -{\frac {1}{k^{3}}}}$
${\displaystyle r^{3}}$	${\displaystyle {\frac {9}{k^{5}}}}$
${\displaystyle r^{m}}$	${\displaystyle {\frac {2^{m+1}\Gamma \left({\tfrac {m}{2}}+1\right)}{k^{m+2}\Gamma \left(-{\tfrac {m}{2}}\right)}},\quad -2<\Re (m)<-{\tfrac {1}{2}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-k|z|}}{k}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{z^{2}+r^{2}}}}$	${\displaystyle K_{0}(kz),\quad z\in \mathbf {C} }$
${\displaystyle {\frac {e^{iar}}{r}}}$	${\displaystyle {\frac {i}{\sqrt {a^{2}-k^{2}}}},\quad a>0,k<a}$
	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {k^{2}-a^{2}}}},\quad a>0,k>a}$
${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}a^{2}r^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}e^{-{\tfrac {k^{2}}{2a^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{r}}J_{0}(lr)e^{-sr}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\pi {\sqrt {(k+l)^{2}+s^{2}}}}}K{\bigg (}{\sqrt {\frac {4kl}{(k+l)^{2}+s^{2}}}}{\bigg )}}$
${\displaystyle -r^{2}f(r)}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{0}}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{0}}{\mathrm {d} k}}}$

${\displaystyle f(r)}$	${\displaystyle F_{\nu }(k)}$
${\displaystyle r^{s}}$	${\displaystyle {\frac {2^{s+1}}{k^{s+2}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}(\nu -s))}}}$
${\displaystyle r^{\nu -2s}\Gamma (s,r^{2}h)}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2s-\nu -2}\gamma \left(1-s+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4h}}\right)}$
${\displaystyle e^{-r^{2}}r^{\nu }U(a,b,r^{2})}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma (2+\nu -b)}{2\Gamma (2+\nu -b+a)}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{\nu }e^{-{\frac {k^{2}}{4}}}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a-b+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4}}\right)}$
${\displaystyle r^{n}J_{\mu }(lr)e^{-sr}}$	esprimibile in termine degli integrali ellittici.[6]
${\displaystyle -r^{2}f(r)}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{\nu }}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{\nu }}{\mathrm {d} k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}F_{\nu }}$

${\displaystyle K_{n}(z)}$ è la funzione di Bessel modificata del secondo tipo. ${\displaystyle K(z)}$ è l'integrale ellittico completo del primo tipo.

L'espressione

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{0}}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{0}}{\mathrm {d} k}}}$

coincide con l'espressione dell'operatore di Laplace in coordinate polari ${\displaystyle (k,\theta )}$ applicato alla funzione a simmetria sferica ${\displaystyle F_{0}(k)}$.

La trasformata di Hankel dei polinomi di Zernike sono essenzialmente delle funzioni di Bessel (Noll 1976):

${\displaystyle R_{n}^{m}(r)=(-1)^{\frac {n-m}{2}}\int _{0}^{\infty }J_{n+1}(k)J_{m}(kr)\,\mathrm {d} k}$

per ${\displaystyle n-m\geq 0}$ pari.

• Trasformata di Fourier
• Trasformata integrale
• Armoniche cilindriche

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