In teoria della misura, una trasformazione che preserva la misura è un particolare tipo di trasformazione misurabile o, più in particolare, di trasformazione non singolare.
Definizione
Sia uno spazio di misura e sia una trasformazione misurabile. Si dice che la trasformazione preserva la misura se
Banalmente, la trasformazione identica su preserva la misura. Il teorema del ritorno di Poincaré è valido solo per trasformazioni che preservano la misura.
Esempio: diffeomorfismo di Anosov
Sia un -toro. Presa una matrice invertibile definita su di taglia , essa definirà naturalmente una mappa lineare da tale che . Essendo una matrice a entrate intere, essa mappa in sé. A ci permette di definire una mappa tale che (ben definita) detta endomorfismo torale lineare; nel caso in cui essa è invertibile dunque un automorfismo.
Sia dunque un diffeomorfismo di Anosov.
Il determinante dello Jacobiano della trasformazione è
dunque la trasformazione preserva la misura.
Gli autovalori della trasformazione sono e , con .
Il diffeomorfismo quindi "schiaccia" in una direzione ed "espande" nella direzione ad essa ortogonale. Possiamo ottenere l'inversa della trasformazione e utilizzarla per calcolare esplicitamente l'operatore mediante la formula di cambiamento di variabile per trasformazioni non singolari: Inoltre , quindi preserva la misura di Borel.
Esempio: mappa di Gauss
La mappa di Gauss , con , , preserva la misura di Gauss data da
per ogni insieme di Borel misurabile.
è un'unione disgiunta, quindi
Siano spazi di probabilità, con . Sia una trasformazione. Sia una semi-algebra che genera . Allora è misurabile e preserva la misura se e soltanto se per ogni si ha e .
Bibliografia
- Andrzej Lasota and Michael C Mackey. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. Springer, second edition, 1994.
- Piermarco Cannarsa and Teresa D’Aprile. Introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale. Springer, 2008 edition, 2008.
- Michael Brin and Garrett Stuck. Introduction to Dynamical Systems. Cambridge, 2002.
Voci correlate
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