代数学におけるビネ・コーシーの恒等式 (びね・こーしーのこうとうしき、英: Binet–Cauchy identity)とは、ジャック・フィリップ・マリー・ビネおよび オーギュスタン=ルイ・コーシーに由来する、次の恒等式[1]
のことである。ここで、 は実数や複素数(より一般的には可換環)を表す。
ci = ai かつ di = bi とすれば、実数に対するラグランジュの恒等式(英語版)が得られる。これはユークリッド空間 におけるコーシー=シュワルツの不等式を強化したものである。
証明
右辺第2項を展開すると
となり、残りの項が導かれる。(第一式から第二式の導出に乗算の可換性を用いている。)
ビネ・コーシーの恒等式とスカラー4重積
n = 3, のとき
すなわち、クロス積のスカラー四重積の公式
が得られる。(この式をビネ・コーシーの恒等式ということもある。)
この式をスカラー三重積の性質を使って変形すれば
とベクトル三重積の公式が得られる。
また、c = a, d = b とおくと、
と、ベクトル解析におけるラグランジュの恒等式が得られる。
一般化
以下の定理はコーシー・ビネの公式として知られている一般化である:
n を自然数とし、集合 {1, …, n} を [n] と表記する。m を非負整数として、A を m × n行列、B を n × m行列とする。 S を [n] から m 個を選んだ部分集合とし、AS を A の n個の列から S に含まれる添字の列を取り出して得られた m × m行列、BS を B の n個の行から S に含まれる添字の行を取り出して得られた m × m行列とする。
m × m行列である積 AB の行列式は
となる。ただし、和において、S は、[n] の部分集合で要素数が m のものすべてを取るとする。
特別な場合として、m = 2 として
を適用すれば
となり、ビネ・コーシーの恒等式が得られる。
脚注
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- ^ Eric W. Weisstein (2003). “Binet-Cauchy identity”. CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd ed.). CRC Press. p. 228. ISBN 1-58488-347-2. https://books.google.co.jp/books?id=8LmCzWQYh_UC&pg=PA228&redir_esc=y&hl=ja
参考文献
- 伊理正夫、韓太舜『線形代数 行列とその標準形』教育出版〈新しい応用の数学16〉、1977年6月。ISBN 4-316-37670-5。
関連項目
外部リンク
- 『ラグランジュの恒等式とその仲間』 - 高校数学の美しい物語
- Weisstein, Eric W. "Binet-Cauchy Identity". mathworld.wolfram.com (英語).