にユークリッド計量によって誘起される自然位相幾何学である。
数学、特に一般的な位相幾何学において、ユークリッド位相(ユークリッドいそう、Euclidean topology)は
-次元ユークリッド空間
上で定義されるユークリッド距離から誘導される自然な位相である。
定義
上のユークリッドノルムは非負の値を取る関数
で以下のように定義される:
他のノルム同様、 ユークリッドノルムから距離が
で定義される距離空間が生成される。ユークリッドノルムから生成される距離
はユークリッド距離と呼ばれる。そして二点
と
は:
任意の距離空間において、開球がその空間上の位相の基底を形成する。[1]
上のユークリッド位相はこれらの球から生成される。 すなわち、
上のユークリッド位相の開集合は(任意の)開球
の和集合で与えられる。ここで
は、
(
はユークリッド距離)で定義される。
性質
この位相が与えられたとき、 実数直線
はT5 空間である。
を満たす
の部分集合
,
が与えられたとき(ここで
は
の閉包)、開集合
,
が存在して、
,
,
となる。[2]
関連項目
参考文献
- ^ 距離空間#距離の誘導する位相
- ^ Steen, L. A.; Seebach, J. A. (1995), Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 0-486-68735-X