レヴィ–プロホロフ計量

数学の分野におけるレヴィ–プロホロフ計量（レヴィ–プロホロフけいりょう、英: Lévy–Prokhorov metric）とは、与えられた距離空間上の確率測度の系の上の計量のことを言う（すなわち、間隔の定義である）。フランスの数学者ポール・レヴィと、ソヴィエトの数学者ユリ・プロホロフ（英語版）の名にちなむ。レヴィ計量の一般化として、1956年にプロホロフによって導入された。

定義

( M , d ) {\displaystyle (M,d)} を、ボレル完全加法族 B ( M ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(M)} を備える距離空間とする。可測空間 ( M , B ( M ) ) {\displaystyle (M,{\mathcal {B}}(M))} 上の全ての確率測度の系を P ( M ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(M)} で表す。

部分集合 A ⊆ M {\displaystyle A\subseteq M} に対し、そのε-近傍（英語版）を

A ε := { p ∈ M   |   ∃ q ∈ A ,   d ( p , q ) < ε } = ⋃ p ∈ A B ε ( p ) {\displaystyle A^{\varepsilon }:=\{p\in M~|~\exists q\in A,\ d(p,q)<\varepsilon \}=\bigcup _{p\in A}B_{\varepsilon }(p)}

で定義する。ここで B ε ( p ) {\displaystyle B_{\varepsilon }(p)} は p {\displaystyle p} を中心とする半径 ε {\displaystyle \varepsilon } の開球とする。

レヴィ–プロホロフ計量 π : P ( M ) 2 → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle \pi :{\mathcal {P}}(M)^{2}\to [0,+\infty )} は、二つの確率測度 μ {\displaystyle \mu } と ν {\displaystyle \nu } の間の距離を

π ( μ , ν ) := inf { ε > 0   |   μ ( A ) ≤ ν ( A ε ) + ε   and   ν ( A ) ≤ μ ( A ε ) + ε   for all   A ∈ B ( M ) } {\displaystyle \pi (\mu ,\nu ):=\inf \left\{\varepsilon >0~|~\mu (A)\leq \nu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{and}}\ \nu (A)\leq \mu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{for all}}\ A\in {\mathcal {B}}(M)\right\}}

と定めることによって、定義される。

確率測度に対して π ( μ , ν ) ≤ 1 {\displaystyle \pi (\mu ,\nu )\leq 1} が成り立つことは明らかである。

人によっては、上述の定義の二つの不等式の内いずれかを省略したり、開あるいは閉のいずれかである A {\displaystyle A} のみを考えることもある。片方の不等式はもう片方を意味するが、開/閉を制限することは計量の定義を変える結果につながる。

性質

  • ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} が可分であるなら、レヴィ–プロホロフ計量における測度の収束は測度の弱収束（英語版）と同値である。したがって、 π {\displaystyle \pi } は弱収束の位相の距離化である。
  • 距離空間 ( P ( M ) , π ) {\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)} が可分であるための必要十分条件は ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} が可分であることである。
  • ( P ( M ) , π ) {\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)} が完備であるなら ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} も完備である。 P ( M ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(M)} に含まれる全ての測度が可分な台を持つなら、その逆も成立する。すなわち、 ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} が完備であるなら ( P ( M ) , π ) {\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)} も完備となる。
  • ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} が可分かつ完備であるなら、部分集合 K ⊆ P ( M ) {\displaystyle {\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)} が相対コンパクトであることと、その π {\displaystyle \pi } -閉包が π {\displaystyle \pi } -コンパクトであることは同値である。

関連項目

参考文献

  • Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. John Wiley & Sons, Inc., New York. ISBN 0-471-19745-9. OCLC 41238534 
  • Zolotarev, V.M. (2001), “Lévy–Prokhorov metric”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Lévy–Prokhorov_metric