正三十七角形 三十七角形(さんじゅうしちかくけい、さんじゅうななかっけい、triacontaheptagon)は、多角形の一つで、37本の辺と37個の頂点を持つ図形である。内角の和は6300°、対角線の本数は629本である。
正三十七角形
正三十七角形においては、中心角と外角は9.729…°で、内角は170.27…°となる。一辺の長さが a の正三十七角形の面積 S は
![{\displaystyle S={\frac {37}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{37}}\simeq 108.67963a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/161e1d47f429e2fe1538b207f98c49edcd753d18)
を平方根と立方根で表すことが可能であるが、三次方程式→三次方程式(2つ)→二次方程式と解く必要がある。
以下には、中間結果(三次方程式を1回解いた際の関係式)を示す。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}=&2\cos {\frac {2\pi }{37}}+2\cos {\frac {12\pi }{37}}+2\cos {\frac {16\pi }{37}}+2\cos {\frac {20\pi }{37}}+2\cos {\frac {22\pi }{37}}+2\cos {\frac {28\pi }{37}}=-{\frac {1}{3}}+{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11+3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}\omega ^{2}+{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11-3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}\omega \\\lambda _{2}=&2\cos {\frac {4\pi }{37}}+2\cos {\frac {18\pi }{37}}+2\cos {\frac {24\pi }{37}}+2\cos {\frac {30\pi }{37}}+2\cos {\frac {32\pi }{37}}+2\cos {\frac {34\pi }{37}}=-{\frac {1}{3}}+{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11+3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}\omega +{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11-3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}\omega ^{2}\\\lambda _{3}=&2\cos {\frac {6\pi }{37}}+2\cos {\frac {8\pi }{37}}+2\cos {\frac {10\pi }{37}}+2\cos {\frac {14\pi }{37}}+2\cos {\frac {26\pi }{37}}+2\cos {\frac {36\pi }{37}}=-{\frac {1}{3}}+{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11+3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}+{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11-3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdaa509c42a49cdde6cdf34b45d3b0450b7ca6ef)
各式を3つの組に分ける。
と
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}=&\left(2\cos {\frac {2\pi }{37}}+2\cos {\frac {12\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {20\pi }{37}}+2\cos {\frac {28\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {16\pi }{37}}+2\cos {\frac {22\pi }{37}}\right)=u_{1}+u_{2}+u_{3}\\\lambda _{2}=&\left(2\cos {\frac {4\pi }{37}}+2\cos {\frac {24\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {30\pi }{37}}+2\cos {\frac {32\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {18\pi }{37}}+2\cos {\frac {34\pi }{37}}\right)=v_{1}+v_{2}+v_{3}\\\lambda _{3}=&\left(2\cos {\frac {10\pi }{37}}+2\cos {\frac {14\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {6\pi }{37}}+2\cos {\frac {36\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {8\pi }{37}}+2\cos {\frac {26\pi }{37}}\right)=w_{1}+w_{2}+w_{3}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ed28862149507780b98f967bcae0c492273164)
和積公式で変形する。また、
の関係を使って変形する。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}=&\left(2\cos {\frac {30\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {32\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {4\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {24\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {18\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {34\pi }{37}}\right)=u_{1}+u_{2}+u_{3}\\\lambda _{2}=&\left(2\cos {\frac {10\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {6\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {36\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {8\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {26\pi }{37}}\right)=v_{1}+v_{2}+v_{3}\\\lambda _{3}=&\left(2\cos {\frac {2\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {12\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {16\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {20\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {28\pi }{37}}\right)=w_{1}+w_{2}+w_{3}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/042a263b1c85a8db9a25c39b35f4740b65aeded9)
解と係数の関係を使って二次方程式を解くと
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{37}}={\frac {u_{1}+{\sqrt {u_{1}^{2}-4w_{1}}}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7dcb3065452052d2cd30103ebdaa932309ccd29)
ここで、
は以下の三次方程式の解である。
![{\displaystyle u^{3}-\lambda _{1}u^{2}+(\lambda _{2}-1)u+(\lambda _{1}-2)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9f1242e5482decc00105503524ad253f2d895ea)
![{\displaystyle w^{3}-\lambda _{3}w^{2}+(\lambda _{1}-1)w+(\lambda _{3}-2)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2c11ec70904df25fc192145500616ffc8c6efa)
三角関数、逆三角関数を用いた解は
![{\displaystyle u_{1}={\frac {\lambda _{1}}{3}}+{\frac {2{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}{3}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {111-4\lambda _{1}-9\lambda _{2}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95138e1f4c840665120a4e790d839ad6d911b95)
![{\displaystyle w_{1}={\frac {\lambda _{3}}{3}}+{\frac {2{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}{3}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {111-4\lambda _{3}-9\lambda _{1}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98c740322b79bde7c1d98427a056667036b00ccb)
平方根、立方根で表すと
![{\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}={\frac {\lambda _{1}}{3}}+{\frac {2{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {111-4\lambda _{1}-9\lambda _{2}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}}+i{\frac {\sqrt {27(1092-253\lambda _{1}-205\lambda _{2})}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}}}}\\+{\frac {2{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {111-4\lambda _{1}-9\lambda _{2}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}}-i{\frac {\sqrt {27(1092-253\lambda _{1}-205\lambda _{2})}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d40aeafd8a448349e035f816f35ddacfec79af8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}w_{1}={\frac {\lambda _{3}}{3}}+{\frac {2{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {111-4\lambda _{3}-9\lambda _{1}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}}+i{\frac {\sqrt {27(1092-253\lambda _{3}-205\lambda _{1})}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}}}}\\+{\frac {2{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {111-4\lambda _{3}-9\lambda _{1}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}}-i{\frac {\sqrt {27(1092-253\lambda _{3}-205\lambda _{1})}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4f273587ebc8a69b4adfd35729ea715712dde3)
別解
を二次方程式→三次方程式→三次方程式の順で求めることもできる。 まず、以下のようにx1~x6を定める。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{37}}+2\cos {\frac {20\pi }{37}}+2\cos {\frac {22\pi }{37}}\\&x_{2}=2\cos {\frac {4\pi }{37}}+2\cos {\frac {34\pi }{37}}+2\cos {\frac {30\pi }{37}}\\&x_{3}=2\cos {\frac {8\pi }{37}}+2\cos {\frac {6\pi }{37}}+2\cos {\frac {14\pi }{37}}\\&x_{4}=2\cos {\frac {16\pi }{37}}+2\cos {\frac {12\pi }{37}}+2\cos {\frac {28\pi }{37}}\\&x_{5}=2\cos {\frac {32\pi }{37}}+2\cos {\frac {24\pi }{37}}+2\cos {\frac {18\pi }{37}}\\&x_{6}=2\cos {\frac {10\pi }{37}}+2\cos {\frac {26\pi }{37}}+2\cos {\frac {36\pi }{37}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b496d479549eecf0000d0e179f64c97b5ebd9bb7)
α、βを以下のように置き
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =x_{1}+x_{3}+x_{5}\\&\beta =x_{2}+x_{4}+x_{6}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14766cd448f2e5aab4270e36a4ca740d8c14bd28)
α、βの和と差の平方を求めると
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha +\beta =-1\\&(\alpha -\beta )^{2}=37\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8826a7558efacdf556b5d3fa01f0e3a6ce107f4)
となる。よって、
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}+x_{3}+x_{5}={\frac {-1+{\sqrt {37}}}{2}}\\&x_{2}+x_{4}+x_{6}={\frac {-1-{\sqrt {37}}}{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2dc50efe1c68f3191c2c2e0821038c6b455f011)
さらに以下の値A,B,C,Dも三角関数の積和の公式から求まる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(x_{3}+\omega \cdot x_{5}+\omega ^{2}\cdot x_{1}\right)^{3}=&A={\frac {-37-8{\sqrt {37}}-3{\sqrt {3}}(37+6{\sqrt {37}})i}{2}}\\\left(x_{3}+\omega ^{2}\cdot x_{5}+\omega \cdot x_{1}\right)^{3}=&B={\frac {-37-8{\sqrt {37}}+3{\sqrt {3}}(37+6{\sqrt {37}})i}{2}}\\\left(x_{4}+\omega \cdot x_{6}+\omega ^{2}\cdot x_{2}\right)^{3}=&C={\frac {-37+8{\sqrt {37}}-3{\sqrt {3}}(37-6{\sqrt {37}})i}{2}}\\\left(x_{4}+\omega ^{2}\cdot x_{6}+\omega \cdot x_{2}\right)^{3}=&D={\frac {-37+8{\sqrt {37}}+3{\sqrt {3}}(37-6{\sqrt {37}})i}{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d38d56ff91abe010bad5dd115927029ec51369c)
両辺の立方根を取ると
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{3}+\omega \cdot x_{5}+\omega ^{2}\cdot x_{1}=&{\sqrt[{3}]{A}}\\x_{3}+\omega ^{2}\cdot x_{5}+\omega \cdot x_{1}=&{\sqrt[{3}]{B}}\\x_{4}+\omega \cdot x_{6}+\omega ^{2}\cdot x_{2}=&{\sqrt[{3}]{C}}\\x_{4}+\omega ^{2}\cdot x_{6}+\omega \cdot x_{2}=&{\sqrt[{3}]{D}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49c94d7c3774e2e5b55949d89045c3bbb5ad0b74)
以上より、x1~x6が求まる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&{\frac {\alpha +\omega {\sqrt[{3}]{A}}+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{B}}}{3}}\\x_{3}=&{\frac {\alpha +{\sqrt[{3}]{A}}+{\sqrt[{3}]{B}}}{3}}\\x_{5}=&{\frac {\alpha +\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{A}}+\omega {\sqrt[{3}]{B}}}{3}}\\x_{2}=&{\frac {\beta +\omega {\sqrt[{3}]{C}}+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{D}}}{3}}\\x_{4}=&{\frac {\beta +{\sqrt[{3}]{C}}+{\sqrt[{3}]{D}}}{3}}\\x_{6}=&{\frac {\beta +\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{C}}+\omega {\sqrt[{3}]{D}}}{3}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c14db6399a80af3218990d775fa5fcb1aab9713d)
さらに以下のy11,y12の値をx1~x6を使って求める。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(2\cos {\frac {2\pi }{37}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {20\pi }{37}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{37}}\right)^{3}=&y_{11}=3x_{1}+x_{3}+6(x_{2}+2)+3\omega (2x_{1}+x_{4}+x_{5})+3\omega ^{2}(2x_{1}+x_{5}+x_{6})\\\left(2\cos {\frac {2\pi }{37}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {20\pi }{37}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {22\pi }{37}}\right)^{3}=&y_{12}=3x_{1}+x_{3}+6(x_{2}+2)+3\omega ^{2}(2x_{1}+x_{4}+x_{5})+3\omega (2x_{1}+x_{5}+x_{6})\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0caf40db0500a175010cd6991fd86d820d422f8c)
両辺の立方根を取ると
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{37}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {20\pi }{37}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{37}}=&{\sqrt[{3}]{y_{11}}}\\2\cos {\frac {2\pi }{37}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {20\pi }{37}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {22\pi }{37}}=&{\sqrt[{3}]{y_{12}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0cd0298023d05125736c8af0a2083181fccc76)
以上より
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{37}}={\frac {x_{1}+{\sqrt[{3}]{y_{11}}}+{\sqrt[{3}]{y_{12}}}}{6}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/823ac72f1126b44dbf8ec7a5b39057ed1c0a784c)
正三十七角形の作図
正三十七角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正三十七角形は折紙により作図可能である[1]。
脚注
[脚注の使い方]
- ^ 西村保三, 山本一海「折り紙による正37角形の作図」『福井大学教育地域科学部紀要』第2巻、福井大学教育地域科学部、2012年、63-70頁、ISSN 2185-369X、NAID 110008795238。
関連項目
外部リンク
- z^37=1 の解法 | てっぃちMarshの数学(Mathematics)教室
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 | |
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (selected) | |
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辺の数: 71–100 (selected) | |
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辺の数: 101– (selected) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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