中心つき四面体数(ちゅうしんつきしめんたいすう、英: centered tetrahedral number)は、四面体についての中心つき図形数。非負整数 n に対して、n 番目の中心つき四面体数は
![{\displaystyle C_{n}={\frac {1}{3}}(2n+1)(n^{2}+n+3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80af44e5115d2efffc89f11f982e2cb85a29bcc)
で与えられる[1]。最初のいくつかの中心つき四面体数は
- 1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589, 791, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A005894)
である。
定義と公式
まず、0番目は1点のみと見なす。すなわち C0 = 1 である。以下帰納的に、n 番目の点の並びは n - 1 番目の点の周りに、四面体の面状に点を付け加えたものと見なす。付け加える点は、通常の四面体数
![{\displaystyle T_{n+1}={\frac {1}{6}}(n+1)(n+2)(n+3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca6676f5b37ad615d616c39772c4c72fe3c76d1)
の点の並びのうち、表面のみの部分である。n = 1, 2, 3 に対しては全ての点が表面にあるが、n ≥ 4 に対しては表面のみの点の個数は(内部の点を抜いて)
![{\displaystyle T_{n+1}-T_{n-3}={\frac {1}{6}}(n+1)(n+2)(n+3)-{\frac {1}{6}}(n-3)(n-2)(n-1)=2n^{2}+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a85dd1dceb551851b835b4ddc5578a99cfc4f94)
となる。形式上、n = 1, 2, 3 に対しても Tn - 3 = 0 となるので、全ての n ≥ 1 に対して
![{\displaystyle C_{n}=C_{n-1}+(2n^{2}+2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c6862bf13447dfab0d37f1d2d87a95f4d421af6)
が成り立つ。よって、
![{\displaystyle C_{n}=C_{0}+\sum _{k=1}^{n}(2k^{2}+2)={\frac {1}{3}}(2n+1)(n^{2}+n+3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66b9c4cfdc3f7bd431e9116ab9f294cd27c3bd46)
である。
性質
![{\displaystyle C_{n}=T_{n-2}+T_{n-1}+T_{n}+T_{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a63f1eea9d9433e36e8335c5238c1ad73a7520a0)
ただし、n = -2, -1, 0 に対しては Tn = 0 と見なす。このことは、上記の定義から直ちに従う。四面体数は二項係数で表されるので、二項係数の性質を用いるなどして、様々な公式が得られる。例えば
![{\displaystyle C_{n}={\binom {n}{0}}+4{\binom {n}{1}}+6{\binom {n}{2}}+4{\binom {n}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff225fa7dc72451ed41bdcfab800207d7dadf0b4)
が成り立つ。このことから、次のような意味付けができる。集合 X = {1, 2, 3, ..., n + 4} とその特定の部分集合 Y = {1, 2, 3, 4} を考えよう。4個の元からなる X の部分集合のうち、Y と共通部分を持つものの個数が、Cn に等しい[2]。
![{\displaystyle {\frac {(1+x)(1+x^{2})}{(1-x)^{4}}}\quad \left(=1+5x+15x^{2}+35x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}x^{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded498acc8533230253dbba8bbc98e901b54e2ab)
脚注
- ^ Deza, E.; Deza, M. (2012). Figurate Numbers. Singapore: World Scientific Publishing. pp. 126–128. ISBN 978-981-4355-48-3. https://books.google.com/books?id=cDxYdstLPz4C&q=%22centered+tetrahedron+numbers%22&pg=PA450
- ^ a b c オンライン整数列大辞典の数列 A005894
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冪数(累乗数)および関連概念 | |
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a × 2b ± 1 の形 | |
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多項式数 | |
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漸化式から定められる数 | |
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その他の特定の性質を持つ数の集合 | |
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特定の和を通じて表される数 | - 非斜辺数(英語版)
- 台形数(英語版)
- プラクティカル数
- 準素擬似完全数(英語版)
- ウラム数
- ウォルステンホルム数(英語版)
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篩を通じて生成される数 | |
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符号関連 | |
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図形数 | 二次元 | |
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三次元 | 中心つき多面体数(英語版) | |
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非中心多面体数(英語版) | - 四面体数
- 八面体数
- 十二面体数(英語版)
- 二十面体数(英語版)
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四次元 | 中心 | - 中心つき五胞体数(英語版)
- 平方された三角数(英語版)
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非中心 | |
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擬素数 | |
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組合せの数 | |
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数論的関数 | σ(n) の性質による | |
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s(n) の性質による | |
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商を割る | |
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