六円定理

曖昧さ回避 「ミケルの六円定理」とは異なります。
最初の円の半径を変えた六円定理の例。右下は、最初の円が内接円になっている。

幾何学で、六円定理（ろくえんていり、英語: six circles theorem）は、三角形と6つの円に関する定理である[1]。△ABCについてAB,BCに接する円O1をつくる。O1,BC,CAに接する円O2、O2,CA,ABに接する円O3と、循環的にO6まで定義したとき、O6とO1は接する（chainが閉じる）[2][3][4]。この定理は1974年以降に発見された。2016年、円が三角形の内部にある場合だけでなく、外部にもある場合、6円以上の連鎖になることが発見された[5]。

三角形の辺を円弧に変えたもの（円弧三角形[6]、curvilinear triangles）でも同様の定理がなりたつ（九円定理）[2][7]。また多角形へも一般化されている（その場合周期が異なる）[5]。

円の半径

半周長が1である△A1A2A3について、線分AiAi-1, AiAi+1とCi-1,Ci+1に接する円をCiとする（A4=A1）。また、Aiと、その対辺と内接円の接点の距離をaiとして

a i = cos 2 ⁡ ( α i ) ( 0 < α i < π 2 ) {\displaystyle a_{i}=\cos ^{2}(\alpha _{i})\quad (0<\alpha _{i}<{\frac {\pi }{2}})}

とする。すると

cos 2 ⁡ ( α 1 ) + cos 2 ⁡ ( α 2 ) + cos 2 ⁡ ( α 3 ) = 1 {\displaystyle \cos ^{2}(\alpha _{1})+\cos ^{2}(\alpha _{2})+\cos ^{2}(\alpha _{3})=1}

を得る。このとき内接円の半径rについて

r = cos ⁡ ( α 1 ) cos ⁡ ( α 2 ) cos ⁡ ( α 3 ) {\displaystyle r=\cos(\alpha _{1})\cos(\alpha _{2})\cos(\alpha _{3})}

が成り立つ。Ci-1とAiAi-1, AiAi+1の接点と、Aiの距離をxiとして

x i = cos 2 ⁡ ( φ i ) ( 0 < φ i < π 2 ) {\displaystyle x_{i}=\cos ^{2}(\varphi _{i})\quad (0<\varphi _{i}<{\frac {\pi }{2}})}

とすると、

φ i = π − φ i − 1 − α i + 1 {\displaystyle \varphi _{i}=\pi -\varphi _{i-1}-\alpha _{i+1}}

が成り立つ[8]。このことと円の中心が角の二等分線上にあることから、円の半径を求めることができる。また、計算していくと、

φ 7 = φ 1 {\displaystyle \varphi _{7}=\varphi _{1}}

が分かるので、連鎖が6であることが分かる。

証明

s=1とした場合。

C1とC2がそれぞれD1,D2で接しているとする。また、Ciの半径をriとすると、

A 1 D 1 = cos 2 ⁡ φ 1 , D 1 D 2 = 2 r 1 r 2 , A 2 D 2 = cos 2 ⁡ φ 2 {\displaystyle A_{1}D_{1}=\cos ^{2}{\varphi _{1}},D_{1}D_{2}=2{\sqrt {r_{1}r_{2}}},A_{2}D_{2}=\cos ^{2}{\varphi _{2}}}

また、三角形と比の定理（英語版）より

r r i = cos 2 ⁡ α i cos 2 ⁡ φ i {\displaystyle {\frac {r}{r_{i}}}={\frac {\cos ^{2}\alpha _{i}}{\cos ^{2}\varphi _{i}}}}

なので

r 1 r 2 = cos ⁡ α 3 cos ⁡ φ 1 cos ⁡ φ 2 {\displaystyle {\sqrt {r_{1}r_{2}}}=\cos \alpha _{3}\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}}

である。これを用いれば

A 1 A 2 = cos 2 ⁡ α 1 + cos 2 ⁡ α 2 = 1 − cos 2 ⁡ α 3 = cos 2 ⁡ φ 1 + 2 cos ⁡ α 3 cos ⁡ φ 1 cos ⁡ φ 2 + cos 2 ⁡ φ 2 {\displaystyle A_{1}A_{2}=\cos ^{2}\alpha _{1}+\cos ^{2}\alpha _{2}=1-\cos ^{2}\alpha _{3}=\cos ^{2}\varphi _{1}+2\cos \alpha _{3}\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}+\cos ^{2}\varphi _{2}}

を得る。この式をcosφ2について解くと

cos ⁡ φ 2 = − cos ⁡ φ 1 cos ⁡ α 3 ± sin ⁡ φ 1 sin ⁡ α 3 = cos ⁡ ( π − φ 1 ∓ α 3 ) {\displaystyle \cos \varphi _{2}=-\cos \varphi _{1}\cos \alpha _{3}\pm \sin \varphi _{1}\sin \alpha _{3}=\cos(\pi -\varphi _{1}\mp \alpha _{3})}

となる。0<φ2<π/2に注意すれば

φ 2 = π − φ 1 − α 3 {\displaystyle \varphi _{2}=\pi -\varphi _{1}-\alpha _{3}}

となる。よって、円の半径の項で見たようにこの式を循環的に使えば、証明される[8]。

特別な場合

内接円

最初の円を内接円にすると、奇数回目の操作で得られる円は常に内接円となる。特に

φ 2 = π − α 1 − α 3 , φ 4 = π − α 3 − α 2 , φ 6 = π − α 2 − α 1 {\displaystyle \varphi _{2}=\pi -\alpha _{1}-\alpha _{3},\varphi _{4}=\pi -\alpha _{3}-\alpha _{2},\varphi _{6}=\pi -\alpha _{2}-\alpha _{1}}

が成り立つので、

r 2 r = cos 2 ⁡ ( α 1 + α 3 ) cos 2 ⁡ α 2 , r 4 r = cos 2 ⁡ ( α 3 + α 2 ) cos 2 ⁡ α 1 , r 6 r = cos 2 ⁡ ( α 2 + α 1 ) cos 2 ⁡ α 3 {\displaystyle {\frac {r_{2}}{r}}={\frac {\cos ^{2}(\alpha _{1}+\alpha _{3})}{\cos ^{2}\alpha _{2}}},{\frac {r_{4}}{r}}={\frac {\cos ^{2}(\alpha _{3}+\alpha _{2})}{\cos ^{2}\alpha _{1}}},{\frac {r_{6}}{r}}={\frac {\cos ^{2}(\alpha _{2}+\alpha _{1})}{\cos ^{2}\alpha _{3}}}}

が従う。これは1814年の算額の書物や1781年のHukugawaの書籍でも示されている[9][10]。

The Ladies' Diary（英語版）では以下の形で紹介されている[11]。

r = r 2 r 4 + r 4 r 6 + r 6 r 2 {\displaystyle r={\sqrt {r_{2}r_{4}}}+{\sqrt {r_{4}r_{6}}}+{\sqrt {r_{6}r_{2}}}}

マルファッティの円

4つ目の円と1つ目の円を一致させると円の周期は3になりマルファッティの円となる。特に

φ 1 = φ 4 = 1 2 ( π + α 1 − α 2 − α 3 ) φ 2 = φ 5 = 1 2 ( π − α 1 + α 2 − α 3 ) φ 3 = φ 6 = 1 2 ( π − α 1 − α 2 + α 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}=\varphi _{4}={\dfrac {1}{2}}(\pi +\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})\\[4pt]\varphi _{2}=\varphi _{5}={\dfrac {1}{2}}(\pi -\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3})\\[4pt]\varphi _{3}=\varphi _{6}={\dfrac {1}{2}}(\pi -\alpha _{1}-\alpha _{2}+\alpha _{3})\end{aligned}}}

が従う。

出典

  1. ^ Weisstein, Eric W.. “Six Circles Theorem” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年6月30日閲覧。
  2. ^ a b Evelyn, C. J. A.、Money-Coutts, G. B.、Tyrrell, John Alfred『The Seven Circles Theorem and Other New Theorems』Stacey International、London、1974年、49–58頁。ISBN 978-0-9503304-0-2。https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/seven-circles-theorem-and-other-new-theorems-by-c-j-a-evelyn-g-b-moneycoutts-and-j-a-tyrrell-pp-viii-68-280-1974-sbn-0-950-3304-ox-stacey-international/0D651BCF5B021542D4A4BAA4FCA3BDA1。 
  3. ^ Wells, David『The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry』Penguin Books、New York、1991年、231頁。ISBN 0-14-011813-6。https://archive.org/details/ThePenguinDictionaryOfCuriousAndInterestingGeometry。 
  4. ^ SERGETABACHNIKOV (2000). “Going in Circles: Variations on the Money-Coutts Theorem”. GeometriaeDedicata (Vol 80): 201-209. https://web.archive.org/web/20170809092542/http://www.math.psu.edu/tabachni/prints/circles.pdf. 
  5. ^ a b Ivanov, Dennis; Tabachnikov, Serge (2016). “The six circles theorem revisited”. American Mathematical Monthly 123 (7): 689–698. arXiv:1312.5260. doi:10.4169/amer.math.monthly.123.7.689. MR3539854. https://arxiv.org/pdf/1312.5260. 
  6. ^ 森本清吾『初等幾何学』朝倉書店、1953年、65頁。doi:10.11501/1372292。 
  7. ^ Weisstein, Eric W.. “Nine Circles Theorem” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年6月30日閲覧。
  8. ^ a b Christoph Soland. “Configuration de Malfatti et théorème des six cercles”. 2024年6月30日閲覧。
  9. ^ Géry Huvent,, Dunod, 2008, p. 125
  10. ^ H. Fukagawa, Daniel Pedoe, , Winnipeg: Charles Babbage Research Centre,
  11. ^ 『Géométrix,d'Euclide à Einstein, la magie d'une science surprenante,』Flamarion、2021年、184,269-270頁。 

関連項目

外部リンク

  • Weisstein, Eric W. "Six Circles Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
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