四極子（横型） 電気四極子の等ポテンシャル面 四極子 （しきょくし、英 : quadrupole, quadrapole ）または四重極 とは、モーメント が等しい双極子 が、2個逆向きに接近して並んでいるような単極子 の分布をいう。単極子を正方形状に配置したものと、直線状に配置したものがあり、それぞれ横型、縦型と呼び分けられる。 また、有限の大きさの電荷分布 が作る場を多重極展開（英語版） したときにも現れる。
電荷 の分布を電気四極子 、磁荷 の分布を磁気四極子 という。電磁気学 においては単に四極子といえば、電気四極子を指すことが多い。
電気四極子モーメントは2階の対称テンソル であり、以下のように定義される [1] [2]
Q i j = ∫ d V ρ ( r ) r i r j {\displaystyle Q_{ij}=\int \mathrm {d} V~\rho ({\boldsymbol {r}})r_{i}r_{j}} ここで、 ρ ( r ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})} r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} 電荷密度 で、添字 i , j ∈ { x , y , z } {\displaystyle i,j\in \{x,y,z\}}
Q = ∫ d V ρ ( r ) r ⊗ r {\displaystyle {\boldsymbol {Q}}=\int \mathrm {d} V~\rho ({\boldsymbol {r}}){\boldsymbol {r}}\otimes {\boldsymbol {r}}} あるいはトレースなしのテンソルとして以下のように定義される[2]
Θ i j = 1 2 ∫ d V ρ ( r ) ( 3 r i r j − δ i j r 2 ) = 1 2 [ 3 Q i j − δ i j ( Q x x + Q y y + Q z z ) ] Θ = 1 2 ∫ d V ρ ( r ) ( 3 r ⊗ r − 1 r 2 ) = 1 2 ( 3 Q − 1 tr Q ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{ij}&={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} V~\rho ({\boldsymbol {r}})(3r_{i}r_{j}-\delta _{ij}r^{2})={\frac {1}{2}}\left[3Q_{ij}-\delta _{ij}(Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz})\right]\\{\boldsymbol {\Theta }}&={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} V\rho ({\boldsymbol {r}})(3{\boldsymbol {r}}\otimes {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {1}}r^{2})={\frac {1}{2}}(3{\boldsymbol {Q}}-{\boldsymbol {1}}\operatorname {tr} {\boldsymbol {Q}})\end{aligned}}} δ {\displaystyle \delta } クロネッカーのデルタ である。
電気四極子モーメントによる電位 ϕ {\displaystyle \phi }
ϕ = 1 4 π ϵ r ⊺ Θ r r 5 {\displaystyle \phi ={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {{\boldsymbol {r}}^{\intercal }{\boldsymbol {\Theta }}{\boldsymbol {r}}}{r^{5}}}} で与えられる。 ϵ {\displaystyle \epsilon } 誘電率 である。
一般に四極子のポテンシャルφ は単極子のそれφ monopole の空間についての2階微分で表される[3]
ϕ ∝ ∂ 2 ∂ x ∂ y ϕ m o n o p o l e {\displaystyle \phi \propto {\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}\phi _{\mathrm {monopole} }} ϕ ∝ ∂ 2 ∂ x 2 ϕ m o n o p o l e {\displaystyle \phi \propto {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\phi _{\mathrm {monopole} }} また、音響学 においても用いられ[4]
^ 太田浩一『電磁気学の基礎I』シュプリンガー・ジャパン 、2007年、71頁。ISBN 978-4-431-72739-2。 ^ a b E Richard Cohen; Tom Cvitas; Jeremy G Frey et al., eds. (2007), Quantities, Units, and Symbols in Physical Chemistry (3rd ed.), RSC Publishing, doi:10.1039/9781847557889, ISBN 978-0-85404-433-7 ^ 吉川茂; 藤田肇『基礎音響学』講談社サイエンティフィク、2002年、187頁。ISBN 4-06-153972-8。 ^ Earl G. Williams 著、吉川茂、西條献児 訳『フーリエ音響学』シュプリンガー・フェアラーク東京、2005年、243頁。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{ij}&={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} V~\rho ({\boldsymbol {r}})(3r_{i}r_{j}-\delta _{ij}r^{2})={\frac {1}{2}}\left[3Q_{ij}-\delta _{ij}(Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz})\right]\\{\boldsymbol {\Theta }}&={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} V\rho ({\boldsymbol {r}})(3{\boldsymbol {r}}\otimes {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {1}}r^{2})={\frac {1}{2}}(3{\boldsymbol {Q}}-{\boldsymbol {1}}\operatorname {tr} {\boldsymbol {Q}})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98ffb434b5f7c7d4db0d022b9649f142218cfde)
