準素イデアル
可換環論において、準素イデアル(じゅんそいである、英: primary ideal)とは、可換環 A の真のイデアル Q であって、xy が Q の元かつ x が Q の元でないとき、ある自然数 n > 0 が存在して yn が Q の元となるようなイデアルのことである。言い換えると、剰余環の任意の零因子がべき零となるような(真の)イデアルのことである。
例と性質
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/A_portion_of_the_lattice_of_ideals_of_Z_illustrating_prime%2C_semiprime_and_primary_ideals_SVG.svg/220px-A_portion_of_the_lattice_of_ideals_of_Z_illustrating_prime%2C_semiprime_and_primary_ideals_SVG.svg.png)
- 定義から明らかに素イデアルは準素イデアルである。
- 素元分解整域において、素元 p のべき pn で生成されたイデアル (pn) は準素イデアルである(たとえば有理整数環;右図参照)。
- ネーター環の任意のイデアルは、有限個の準素イデアルの共通部分として書ける(準素分解)。
- デデキント環の準素イデアルは素イデアルのべきである。
- 準素イデアルの根基は素イデアルである。
参考文献
- 堀田, 良之『可換環と体』岩波書店、2006年。ISBN 4-00-005198-9。
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