球冠

球冠（英語ではspherical cap, spherical domeやspherical segment of one baseという）とは、平面により切断された球の一部のこと。平面が球の中心を通り、球冠の高さが球体の半径と等しいときには半球となる。

球冠の体積と曲面の面積は、次の値を組み合わせることで計算できる。

• 球の半径 ${\displaystyle r}$
• 球冠の底の半径 ${\displaystyle a}$
• 球冠の高さ ${\displaystyle h}$
• 球の中心から球冠の頂点（極）までの線と球冠の底を形作る円板の端との間の極角 ${\displaystyle \theta }$

	${\displaystyle r}$ と ${\displaystyle h}$ を用いる	${\displaystyle a}$ と ${\displaystyle h}$ を用いる	${\displaystyle r}$ と ${\displaystyle \theta }$ を用いる
体積	${\displaystyle V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}$ [1]	${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})}$	${\displaystyle V={\frac {\pi }{3}}r^{3}(2+\cos \theta )(1-\cos \theta )^{2}}$
表面積	${\displaystyle A=2\pi rh}$[1]	${\displaystyle A=\pi (a^{2}+h^{2})}$	${\displaystyle A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta )}$

${\displaystyle \phi }$ が地理座標における緯度を示す場合、${\displaystyle \theta +\phi =\pi /2=90^{\circ }\,}$である。

${\displaystyle h}$ と ${\displaystyle r}$ の関係は${\displaystyle 0\leq h\leq 2r}$であれば問題ない。例えば、図の赤い部分は${\displaystyle h>r}$の球冠である。

${\displaystyle r}$ と ${\displaystyle h}$ を用いる式は、ピタゴラスの定理を用いて${\displaystyle r}$の代わりに球冠の底面の半径${\displaystyle a}$を用いる式に書き換えることができる。

${\displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2}\,,}$

つまり

${\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}\,.}$

となる。 これを式に代入すると

${\displaystyle V={\frac {\pi h^{2}}{3}}\left({\frac {3a^{2}+3h^{2}}{2h}}-h\right)={\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})\,,}$

${\displaystyle A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2})\,.}$

となる。

以下の議論ベースの計算とは別であるが、球冠の表面積は直感的な議論により球面扇形の体積 ${\displaystyle V_{sec}}$ から導出することができる^[2]。

${\displaystyle A={\frac {3}{r}}V_{sec}={\frac {3}{r}}{\frac {2\pi r^{2}h}{3}}=2\pi rh\,.}$

直感的な議論は、総体積を無限小の三角錐の総体積を合計することに基づいている。角錐の体積の式${\displaystyle V={\frac {1}{3}}bh'}$（${\displaystyle b}$は各角錐の底面（球体の表面にある）の無限面積で、${\displaystyle h'}$ は底面から頂点（球の中心）までの各角錐の高さ）を用いる。極限をとったときの各${\displaystyle h'}$は定数であり、球の半径${\displaystyle r}$と等しいため、無限小の角錐の底面積の合計は球冠の表面積に等しくなる。

${\displaystyle V_{sec}=\sum {V}=\sum {\frac {1}{3}}bh'=\sum {\frac {1}{3}}br={\frac {r}{3}}\sum b={\frac {r}{3}}A}$

体積と表面積の式は次の関数

${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}}$ (${\displaystyle x\in [0,h]}$)

を調べ、表面積に対しては回転面の式、体積に対しては回転体の式を用いることで導出される。 表面積は

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx}$

である。${\displaystyle f}$の導関数は

${\displaystyle f'(x)={\frac {r-x}{\sqrt {2rx-x^{2}}}}}$

であるから

${\displaystyle 1+f'(x)^{2}={\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}$

となる。よって表面積の式は

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{0}^{h}r\,dx=2\pi r\left[x\right]_{0}^{h}=2\pi rh}$

となる。体積は

${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}f(x)^{2}\,dx=\pi \int _{0}^{h}(2rx-x^{2})\,dx=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{h}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}$

となる。

半径${\displaystyle r_{1}}$ と ${\displaystyle r_{2}}$の球が交差したときの和集合の体積は^[3]、

${\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}\,,}$

ここで

${\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}}$

は2つの独立した球の体積の合計で

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})}$

は交差を作り出す2つの球冠の体積の合計。${\displaystyle d\leq r_{1}+r_{2}}$ が2つの球の中心間の距離であるとき、変数${\displaystyle h_{1}}$ と ${\displaystyle h_{2}}$を消すと^[4][5]

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right)\,.}$

となる。

2つの平行な平板で囲まれた球台の表面積は、それぞれの球冠の表面積の差である。半径${\displaystyle r}$で高さが${\displaystyle h_{1}}$ と ${\displaystyle h_{2}}$の球冠の場合、表面積は

${\displaystyle A=2\pi r|h_{1}-h_{2}|\,,}$

であり、地理座標である緯度${\displaystyle \phi _{1}}$ と ${\displaystyle \phi _{2}}$を用いると^[6]

${\displaystyle A=2\pi r^{2}|\sin \phi _{1}-\sin \phi _{2}|\,,}$

となる。例えば、地球を半径6371 kmの球と仮定すると、北極（2016年8月現在、北極圏である緯度66.56°より北^[7]）の表面積は、2π·6371²|sin 90° − sin 66.56°| = 2104万km²で、地球の総表面積の0.5·|sin 90° − sin 66.56°| = 4.125%である。

この式を用いることで、地球の表面積の半分が南緯30°と北緯30°の間にあることを示すことができる。この範囲は熱帯を包含する。

回転楕円体のドーム(spheroidal dome)は、ドームが円対称（回転軸を持つ）になるように回転楕円体の一部を切り取ることで得られる。楕円体から楕円体のドームも同様に得られる。

一般的に、${\displaystyle n}$次元ユークリッド空間における高さ${\displaystyle h}$ で半径 ${\displaystyle r}$の超球冠の${\displaystyle n}$次元の体積は^[8]

${\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(t)\,\mathrm {d} t}$

で与えられる。ここで${\displaystyle \Gamma }$（ガンマ関数）は${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$で与えられる。

${\displaystyle V}$の式は、n次元球体単位の体積${\displaystyle C_{n}={\scriptstyle \pi ^{n/2}/\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}}$や超幾何関数 ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ 、正規化不完全ベータ関数 ${\displaystyle I_{x}(a,b)}$ を用いて

${\displaystyle V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$と表すことができ、

表面積の式${\displaystyle A}$は、n次元球体単位の表面積${\displaystyle A_{n}={\scriptstyle 2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}}$を用いて

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$

と表すことができる。ここで${\displaystyle 0\leq h\leq r}$である。

それより前に^[9] (1986, USSR Academ. Press) 次の式が導出されていた。 ${\displaystyle A=A_{n}p_{n-2}(q),V=C_{n}p_{n}(q)}$, where ${\displaystyle q=1-h/r(0\leq q\leq 1),p_{n}(q)=(1-G_{n}(q)/G_{n}(1))/2}$,

${\displaystyle G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt}$.

奇数${\displaystyle n=2k+1:}$に対しては

${\displaystyle G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}}$.

${\displaystyle n\to \infty }$および${\displaystyle q{\sqrt {n}}={\text{const.}}}$である場合、${\displaystyle p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}})}$（${\displaystyle F()}$は標準正規分布の積分）であることが示されている^[10]。

より定量的な方法でこれを書くと^[11]、境界${\displaystyle A/A_{n}=n^{\Theta (1)}\cdot [(2-h/r)h/r]^{n/2}}$が与えられる。 大きな球冠（${\displaystyle n\to \infty }$で${\displaystyle (1-h/r)^{4}\cdot n=O(1)}$）の場合、境界は${\displaystyle n^{\Theta (1)}\cdot e^{-(1-h/r)^{2}n/2}}$と簡単にすることができる。

• 弓形 — 2次元の物体への類推
• 立体角 — n次元球冠の式に含まれる
• 球台
• 半楕円体形
• 球面扇形（英語版）
• 球面楔形（英語版）

• Richmond, Timothy J. (1984). “Solvent accessible surface area and excluded volume in proteins: Analytical equation for overlapping spheres and implications for the hydrophobic effect”. Journal of Molecular Biology 178 (1): 63–89. doi:10.1016/0022-2836(84)90231-6. PMID 6548264. 
• Lustig, Rolf (1986). “Geometry of four hard fused spheres in an arbitrary spatial configuration”. Molecular Physics 59 (2): 195–207. Bibcode: 1986MolPh..59..195L. doi:10.1080/00268978600102011. 
• Gibson, K. D.; Scheraga, Harold A. (1987). “Volume of the intersection of three spheres of unequal size: a simplified formula”. The Journal of Physical Chemistry 91 (15): 4121–4122. doi:10.1021/j100299a035. 
• Gibson, K. D.; Scheraga, Harold A. (1987). “Exact calculation of the volume and surface area of fused hard-sphere molecules with unequal atomic radii”. Molecular Physics 62 (5): 1247–1265. Bibcode: 1987MolPh..62.1247G. doi:10.1080/00268978700102951. 
• Petitjean, Michel (1994). “On the analytical calculation of van der Waals surfaces and volumes: some numerical aspects”. Journal of Computational Chemistry 15 (5): 507–523. doi:10.1002/jcc.540150504. 
• Grant, J. A.; Pickup, B. T. (1995). “A Gaussian description of molecular shape”. The Journal of Physical Chemistry 99 (11): 3503–3510. doi:10.1021/j100011a016. 
• Busa, Jan; Dzurina, Jozef; Hayryan, Edik; Hayryan, Shura (2005). “ARVO: A fortran package for computing the solvent accessible surface area and the excluded volume of overlapping spheres via analytic equations”. Computer Physics Communications 165 (1): 59–96. Bibcode: 2005CoPhC.165...59B. doi:10.1016/j.cpc.2004.08.002. 

• Weisstein, Eric W. "Spherical cap". mathworld.wolfram.com (英語). Derivation and some additional formulas.
• Online calculator for spherical cap volume and area.
• Summary of spherical formulas.