相対的内部
数学において、集合の相対的内部(そうたいてきないぶ、英: relative interior)は、集合の内部の概念を精錬したもので、高次元空間内の低次元集合を扱う際にしばしば有用となる。直観的に、与えられた集合の相対的内部とは、その集合の(その集合を含む最小の部分空間に相対する意味での)「へり」にない全ての点からなる。
厳密には、集合 S の相対的内部 relint(S) は、S のアフィン包の中で考えた S の内部[1]、すなわち
として定義される。ここで aff(S) は S のアフィン包であり、Nε(x) は x を中心とする半径 ε の球である。球の構成には任意の距離を用いてよい(即ち、すべての距離函数が相対的内部として同じ集合を定義する)。
任意の空でない凸集合 C ⊆ Rn に対して、相対的内部は次で定義される。
- [2][3].
関連項目
参考文献
- ^ Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. pp. 2–3. ISBN 981-238-067-1. MR1921556
- ^ Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. p. 47. ISBN 978-0-691-01586-6
- ^ Dimitri Bertsekas (1999). Nonlinear Programming (2 ed.). Belmont, Massachusetts: Athena Scientific. p. 697. ISBN 978-1-886529-14-4
- Boyd, Stephen; Lieven Vandenberghe (2004). Convex Optimization. Cambridge: Cambridge University Press. p. 23. ISBN 0-521-83378-7. http://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/