等差×等比数列

算術幾何数列とは異なる。また、算術幾何平均を定義する数列とも混同してはならない。

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基本定理

平均値の定理

定義
導関数 (一般化（英語版）) 微分無限小関数の全
概念
微分の記法二階導関数三階導関数（英語版）変数変換（英語版）陰関数の微分 Related rates（英語版）テイラーの定理
法則と恒等式（英語版）
和（英語版）積合成冪（英語版）商一般ライプニッツファー・ディ・ブルーノの公式（英語版）

積分法

定義
積分一覧
不定積分積分 (広義) リーマン積分ルベーグ積分線積分複素線積分
道具
部分 Discs（英語版）円殻（バウムクーヘン）置換三角置換（英語版）部分分数（英語版）順序（英語版）漸化式

級数

収束判定法（英語版）
幾何 (算術幾何) 調和交代冪二項テイラー
項の極限（項判定法）（英語版）比冪根積分比較極限比較（英語版）交代級数（英語版）凝集ディリクレアーベル（英語版）

ベクトル

定理
勾配発散回転ラプラシアン方向微分公式（英語版）
発散勾配（英語版）グリーンケルビン・ストークス

多変数

形式と枠組み
行列（英語版）テンソル外幾何学的（英語版）
定義
偏微分多重積分線積分面積分体積分ヤコビアンヘッセ行列

特殊化

分数階微積分
解析接続
マリアヴァン（英語版）
確率（英語版）
変分

その他

解析学記号

数学において、算術数列と幾何数列の項ごとの積によって与えられる、算術–幾何数列 (arithmetico–geometric sequence) は、象徴的に「算術⋅幾何数列」とか「(等差)×(等比)-型の数列」などのようにも呼ばれる。より平易に述べれば、一つの算術×幾何数列の第 n-項は、適当な算術数列の第 n-項と幾何級数の第 n-項の積で与えられる。算術幾何数列は、確率論における期待値の計算など様々な応用において生じる。例えば数列 ${\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\dotsc$ は分子 (青) が算術数列を成す成分、分母 (緑) が幾何数列を成す成分となっている算術幾何数列である。

注意: 「算術幾何数列」という呼称は、算術数列と幾何数列の両方の特徴を持つほかの対象に用いられる場合がある。^{[注釈 1]}

一般項の様子

初項 a, 公差 d の算術数列 (青) と初項 b, 公比 r の幾何数列 (緑) を合成して得た算術幾何数列の最初のほうの項は ${\begin{aligned}t_{1}&=\color {blue}a\color {green}b\\t_{2}&=\color {blue}(a+d)\color {green}br\\t_{3}&=\color {blue}(a+2d)\color {green}br^{2}\\&\ \,\vdots \\t_{n}&=\color {blue}[a+(n-1)d]\color {green}br^{n-1}\end{aligned}}$ のようになっている^[1]。

簡単のため、本項ではこれ以降 b = 1 と仮定して話を進める。

例

例えば数列 ${\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots$ は d = b = 1, a = 0, r = 1/2 の定める算術幾何数列である。

有限和

算術幾何数列の初めの n 項からなる第 n-部分和 ${\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{k=1}^{n}t_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]r^{k-1}\\&=a+[a+d]r+[a+2d]r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}\end{aligned}}$ は閉じた形の式（英語版） $S_{n}={\frac {a-[a+(n-1)d]r^{n}}{1-r}}+{\frac {dr(1-r^{n-1})}{(1-r)^{2}}}$ で表すことができる。

導出

求める和^[1] $S_{n}=a+[a+d]r+[a+2d]r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}$ に公比 r を掛けて $rS_{n}=ar+[a+d]r^{2}+[a+2d]r^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n}$ としてから、辺々引くことにより ${\begin{aligned}(1-r)S_{n}={}&\left[a+(a+d)r+(a+2d)r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}\right]\\[5pt]&{}\qquad -\left[ar+\quad (a+d)r^{2}+(a+2d)r^{3}+\dotsb \dotsb \qquad +[a+(n-1)d]r^{n}\right]\\[5pt]={}&a+d\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left[a+(n-1)d\right]r^{n}\\[5pt]={}&a+{\frac {dr(1-r^{n-1})}{1-r}}-[a+(n-1)d]r^{n}\end{aligned}}$ を得る（最後の行、真ん中の項は幾何級数の公式を用いた）。最後に、両辺を (1 − r) で割れば所期の式を得る。

無限級数

前節の結果の帰結として、算術幾何数列の項の無限和、すなわち算術幾何級数は −1 < r < 1 なるとき、その値 S は $S=\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}=\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {a}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}$ で与えられる^[1]。

r がほかの範囲にあるときには:

発散: r > 1 または [r = 1（このとき算術数列に帰着される）かつ a, d の何れかは 0 でない] のとき^{[注釈 2]}
交項級数: r ≤ −1 のとき

例: 期待値の計算

d = b = 1, a = 0, r = 1/2 で定まる算術幾何級数 $S={\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}}+{\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}}+{\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}}+{\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}}+{\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}}+{\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}}+\cdots$ は収束して S = 2 である。

この数列はコイントスにおいて「テイル」を得るまでの回数の期待値に対応している。k-回目のトスで初めてテイルを得る確率 T_k は、 $T_{1}={\frac {1}{2}},\ T_{2}={\frac {1}{4}},\dots ,T_{k}={\frac {1}{2^{k}}}$ で与えられる。したがってトス回数の期待値は $\sum _{k=1}^{\infty }kT_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\color {blue}k}{\color {green}2^{k}}}=S=2$ である。

注釈

^ 例えば線形回帰数列の一種で $u_{n+1}=au_{n}+b$ なる漸化式を満足する数列は、算術数列 (a = 1) および幾何数列 (b = 0) を共に一般化する。
^ 後者の場合で a = d = 0 ならばすべての項が零だから、級数は定数になる

参考文献

^ ^a ^b ^c K. F. Riley; M. P. Hobson; S. J. Bence (2010). Mathematical methods for physics and engineering (3rd ed.). Cambridge University Press. p. 118. ISBN 978-0-521-86153-3