飽和集合

飽和集合（ほうわしゅうごう）は、数学（特に集合論や位相空間論の下位分野）において、集合 ${\displaystyle C}$ と関数 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ に対して、${\displaystyle C}$ が ${\displaystyle f}$ の定義域 ${\displaystyle X}$ の部分集合で、${\displaystyle f}$ が2点 ${\displaystyle c\in C}$ と ${\displaystyle x\in X}$ を同じ値に写すならば、${\displaystyle x}$ は ${\displaystyle C}$ に属する（つまり、${\displaystyle f(x)=f(c)}$ ならば ${\displaystyle x\in C}$ である）とき、${\displaystyle C}$ は ${\displaystyle f}$ について飽和的あるいは飽和している（saturated）という。より簡潔には、集合 ${\displaystyle C}$ は ${\displaystyle C=f^{-1}(f(C))}$ のとき、飽和しているという。

位相空間論において、位相空間 ${\displaystyle (X,\tau )}$ の部分集合が ${\displaystyle X}$ の開集合の交差に等しいときに、その部分集合は飽和しているという。T₁空間では任意の集合が飽和している。

${\displaystyle f\colon X\to Y}$ を写像とする。任意の部分集合 ${\displaystyle S\subseteq X}$ に対して、${\displaystyle f}$ による像を、集合$${\displaystyle f^{-1}(y):=f^{-1}(\{y\})=\{x\in X\mid f(x)=y\}}$$と定義し、${\displaystyle f}$ の原像あるいは逆像を、集合$${\displaystyle f(S):=\{f(s)\mid s\in S\}}$$と定義する。${\displaystyle y\in Y}$ をとるとき、${\displaystyle f}$ の ${\displaystyle y}$ 上のファイバーとは、原像$${\displaystyle f^{-1}(S):=\{x\in X\mid f(x)\in S\}}$$と定義する。

集合 ${\displaystyle C}$ が ${\displaystyle f}$ の定義域 ${\displaystyle X}$ の部分集合で、以下の同値な条件のいずれかを満たしているとき、${\displaystyle C}$ は ${\displaystyle f}$-飽和 あるいは ${\displaystyle f}$ について飽和しているという：^[1]

1. ${\displaystyle C=f^{-1}(f(C))}$ 。
2. ある集合 ${\displaystyle S}$ が存在して ${\displaystyle C=f^{-1}(S)}$ となる。
   • このような集合 ${\displaystyle S}$ は ${\displaystyle f(C)}$ を部分集合として含む必要がある。また、等式${\displaystyle f(C)=S\cap \operatorname {Im} f}$ も満たす必要がある。ここで、${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}$ は ${\displaystyle f}$ の像を意味する。
3. ${\displaystyle c\in C}$ と ${\displaystyle x\in X}$ が ${\displaystyle f(x)=f(c)}$ を満たすならば、${\displaystyle x\in C}$ である。
4. ${\displaystyle y\in Y}$ について、ファイバー ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ が ${\displaystyle C}$ と交叉する（すなわち ${\displaystyle f^{-1}(y)\cap C\neq \varnothing }$ ）とき、このファイバーは ${\displaystyle C}$ の部分集合でなければならない（すなわち ${\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq C}$ ）。
5. 任意の ${\displaystyle y\in Y}$ に対して、交叉 ${\displaystyle C\cap f^{-1}(y)}$ は空集合 ${\displaystyle \varnothing }$ または ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ に等しい。

${\displaystyle f\colon X\to Y}$ を任意の関数とする。${\displaystyle S}$ が任意の集合のとき、その ${\displaystyle f}$ の元での原像 ${\displaystyle C:=f^{-1}(S)}$ は${\displaystyle f}$-飽和集合でなければならない。特に、写像 ${\displaystyle f}$ の任意のファイバーは ${\displaystyle f}$-飽和集合である。

空集合 ${\displaystyle \varnothing =f^{-1}(\varnothing )}$ と定義域 ${\displaystyle X=f^{-1}(Y)}$ は常に飽和している。飽和集合の任意の合併は飽和集合であり、同じく飽和集合の任意の交叉も飽和集合である。

${\displaystyle S}$ と ${\displaystyle T}$ を任意の集合とし、${\displaystyle f\colon X\to Y}$ を任意の関数とする。

${\displaystyle S}$ または ${\displaystyle T}$ が ${\displaystyle f}$-飽和ならば、$${\displaystyle f(S\cap T)~=~f(S)\cap f(T).}$$${\displaystyle T}$ が ${\displaystyle f}$-飽和ならば$${\displaystyle f(S\setminus T)~=~f(S)\setminus f(T)}$$である。ここで特に、集合 ${\displaystyle S}$ について何の条件も課していないことに留意しよう。

${\displaystyle \tau }$ が ${\displaystyle X}$ の位相（開集合族）であり、${\displaystyle f\colon X\to Y}$ が任意の写像のとき、 ${\displaystyle X}$ の飽和的な開集合 ${\displaystyle U\in \tau }$ 全体のなす集合族 ${\displaystyle \tau _{f}}$ は ${\displaystyle X}$ の位相になる。${\displaystyle Y}$ が位相空間のときは、${\displaystyle f\colon (X,\tau )\to Y}$ が連続（resp. 商写像）であるときかつそのときに限り、同じことが ${\displaystyle f\colon \left(X,\tau _{f}\right)\to Y}$ についても成り立つ。

• G. Gierz; K. H. Hofmann; K. Keimel; J. D. Lawson; M. Mislove & D. S. Scott (2003). "Continuous Lattices and Domains". Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 93. Cambridge University Press. ISBN 0-521-80338-1。
• Monk, James Donald (1969). Introduction to Set Theory. International series in pure and applied mathematics. New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-042715-0. OCLC 1102. http://euclid.colorado.edu/~monkd/monk11.pdf 
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